Question

如圖所示，宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上的P點沿水平方向以初速度υ₀拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為θ，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的第一宇宙速度υ；
（3）人造衛星在該星球表面做勻速圓周運動的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）小球做平拋運動，水平位移x=υ₀t，豎直位移y=

1

2

gt2，再根據幾何關系即可求得該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的近地衛星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ；
（3）人造衛星的向心力由萬有引力提供，當運動半徑即為該星球半徑時，周期最小．

解答：解：（1）小球做平拋運動，水平位移x=υ₀t，豎直位移y=

1

2

gt2
由位移關系得：tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

υ0t

，g=

2υ0tanθ

t

（2）該星球的近地衛星的向心力由萬有引力提供

GMm

R2

=m

υ2

R

①
該星球表面物體所受重力等于萬有引力，

GMm

R2

=mg②
由①②得υ=

gR

=

2υ0Rtanθ t

（3）人造衛星的向心力由萬有引力提供

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，T=

4π2r3 GM

=

4π2r3 gR2

當r=R時，T最小，T=

4π2R g

=

4π2Rt 2υ0tanθ

=

2π2Rt υ0tanθ

答：（1）該星球表面的重力加速度g為

2υ0tanθ

t

；
（2）該星球的第一宇宙速度υ為

2υ0Rtanθ t

；
（3）人造衛星在該星球表面做勻速圓周運動的最小周期T為

2π2Rt υ0tanθ

．

點評：該題主要考查了平拋運動及圓周運動的相關知識，要求同學們能熟練掌握平拋運動的基本公式及向心力公式，難度適中．