Question

回旋加速器在核科學、核技術、核醫學等高新技術領域得到了廣泛應用，有力地推動了現代科學技術的發展。
(1)當今醫學影像診斷設備PET/CT諶稱“現代醫學高科技之冠”，它在醫療診斷中，常利用能放射正電子的同位素碳11作示蹤原子。碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質子轟擊氮14獲得，同時還產生另一粒子，試寫出核反應方程，若碳11的半衰期τ為20 min，經2.0 h剩余碳11的質量占原來的百分之幾？（結果取2位有效數字）
(2)回旋加速器的原理如圖所示，D₁和D₂是兩個中空的半徑為R的半圓金屬盒，它們接在電壓一定、頻率為f的交流電源上，位于D₁圓心處的質子源A能不斷產生質子（初速度可以忽略，重力不計），它們在兩盒之間被電場加速，D₁、D₂置于與盒面垂直的磁感應強度為B的勻強磁場中，若質子束從回旋加速器輸出時的平均功率為P，求輸出時質子束的等效電流I與P、B、R、f的關系式（忽略質子在電場中的運動時間，其最大速度遠 小于光速）。
(3)試推理說明：質子在回旋加速器中運動時，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

解：(1)核反應方程為： ①
設碳11原有質量為m₀，經過t₁=2.0h剩余的質量為m_r，根據半衰期定義有：②
(2)設質子質量為m，電荷量為q，質子離開加速器時速度大小為v，由牛頓第二定律知： ③
質子運動的回旋周期為： ④
由回旋加速器工作原理可知，交流電源的頻率與質子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關系得：⑤
設在t時間內離開加速器的質子數為N，則質子束從回旋加速器輸出時的平均功率為：⑥
輸出時質子束的等效電流為： ⑦
由上述各式得： ⑧
若以單個質子為研究對象解答過程正確的同樣得分
(3)設k(k∈N*)為同一盒中質子運動軌道半徑的序數，相鄰的軌道半徑分別為r_k、r_k+1(r_k+1>r_k)，△r_k=r_k+1-r_k，在相應軌道上質子對應的速度大小分別為v_k、v_k+1、D₁、D₂之間的電壓為U，由動能定理知：
 ⑨
由洛倫茲力充當質子做圓周運動的向心力，知，則：
整理得 ⑩
因U、q、m、B均為定值，令，由上式得：
相鄰軌道半徑r_k+1、r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理
因為r_k+2>r_k，比較△r_k、△r_k+1得：△r_k+1＜△r_k
說明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減小
一題多解：質子在加速過程中加速不變，故可以看成做初速度為零的勻加速運動，設質子第n次經過狹縫后的半徑為r_n，速度為v_n，由動能定理得：
在磁場中洛倫茲力提供向心力：
解得：
則得
那么半徑的差值之比為：
可見△r逐漸減小