Question

如圖所示的“s”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌網道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動．彈射裝置將一個小球（小球的直徑略小于細圓管內徑）從a點沿水平地面向b點運動并進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出．已知小球與地面ab段間的動摩擦因數為μ，ab段長L，圓的半徑R，小球質量m，求：
（1）若小球經d處時，對軌道上臂有壓力，則它經過b處時的速度滿足什么條件？
（2）為使小球離開軌道d處后，不會再碰到軌道，則小球離開d出時的速度至少為多大？
（3）若μ=0.2、L=1m、R=0.2m、m=0.1kg，g取10m/s²，小球從a點出發的速度為4m/s，則它經c點前、后的瞬間，小球對軌道的壓力各為多大？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律與機械能守恒定律，即可求解；
（2）根據平拋運動規律處理的方法，運用牛頓第二定律與運動學公式綜合，借助于幾何關系，即可求解；
（3）根據動能定理，與牛頓第二定律，結合向心力表達式，即可求解．

解答：解：（1）根據牛頓第二定律，小球經d點時Fd+mg=m

v 2 d

R

F_d＞0，即vd＞

gR

小球從b到d，由機械能守恒定律

1

2

m

v

2 d

+4mgR=

1

2

m

v

2 b

解得vb＞3

gR

（2）假設恰好落到豎直位移3R處，則該點的速度方向豎直向下，這不符合平拋運動的規律．設小球離開d出時的速度為v_d時，在運動過程中與軌道恰好相碰，即小球的運動軌跡與圓相切．以d點為坐標原點建立如圖10坐標系，由平拋運動規律得
x=v_dt①
y=

1

2

gt2②
由①②兩式得y=

g

2 v 2 d

x2③
由解析幾何知識得x²+（y-3R）²=R²④
聯立③④兩式得y2+(

2 v 2 d

g

-6R)y+8R2=0⑤
要使的拋物線與圓相切，則方程⑤的△判別式為零，即△=(

2 v 2 d

g

-6R)2-32R2=0
解得：vd=

(3-2 2 )gR

故小球離開軌道d處后，不再碰到軌道，小球離開d出時的速度至少為

(3-2 2 )gR

（3）小球從a到c，由動能定理得：
-μmgL-2mgR=

1

2

m

v

2 c

-

1

2

m

v

2 a

解得v_c=2m/s
由牛頓第二定律得
小球在c點前，F1+mg=m

v 2 c

R

解得F₁=1N，（方向豎直向下）                
小球在c點后，F2-mg=m

v 2 c

R

解得F₂=3N，（方向豎直向上）
答：（1）若小球經d處時，對軌道上臂有壓力，則它經過b處時的速度滿足vb＞3

gR

條件；
（2）為使小球離開軌道d處后，不會再碰到軌道，則小球離開d出時的速度至少為

(3-2 2 )gR

；
（3）則小球對軌道的壓力各為F₁=1N，（方向豎直向下）；F₂=3N，（方向豎直向上）．

點評：考查動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律與運動學公式等規律的應用，知道向心力的表達式，同時注意受力分析的研究對象確定．