Question

如圖所示，在真空室中平面直角坐標系的y軸豎直向上，x軸上的P點與Q點關于坐標原點O對稱，PQ間的距離d=30cm．坐標系所在空間存在一勻強電場，場強的大小E=1.0N/C．一帶電油滴在xOy平面內，從P點與x軸成30°的夾角射出，該油滴將做勻速直線運動，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所帶電荷量q=1.0×10^-7C，重力加速度為g=10m/s²．
（1）求油滴的質量m．
（2）若在空間疊加一個垂直于xOy平面的圓形有界勻強磁場，使油滴通過Q點，且其運動軌跡關于y軸對稱．已知磁場的磁感應強度大小為B=2.0T，求：
a．油滴在磁場中運動的時間t；
b．圓形磁場區域的最小面積S．

Answer 1

分析：（1）對帶電油滴進行受力分析，根據牛頓運動定律即可求解；
（2）帶電油滴進入勻強磁場，其軌跡如圖所示，根據向心力公式、求出半徑，進而求出周期，根據幾何關系求出圓心角，繼而求出粒子在磁場中運動的時間，由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運動，且運動時間相等．根據幾何關系和速度公式求解粒子在這兩段運動過程中的時間，三段運動時間之和即為總時間，連接MN，當MN為圓形磁場的直徑時，圓形磁場面積最小，根據幾何關系求出半徑，S=πr²求解面積．

解答：解：
（1）對帶電油滴進行受力分析，根據牛頓運動定律有qE-mg=0
所以m=

qE

g

=1.0×10-8kg
（2）帶電油滴進入勻強磁場，其軌跡如圖所示，設其做勻速圓周運動設圓周運動的半徑為R、運動周期為T、油滴在磁場中運動的時間為t，根據牛頓第二定律：
所以qvB=

mv2

R

?R=

mv

qB

=0.10m
所以T=

2πR

v

=0.1πs
設帶電油滴從M點進入磁場，從N點射出磁場，由于油滴的運動軌跡關于y軸對稱，如圖所示，根據幾何關系可知∠MO'N=60°，所以，帶電油滴在磁場中運動的時間t2=

T

6

=

0.1π

6

s
由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運動，且運動時間相等．根據幾何關系可知，PM=NQ=

d 2 -Rsin30°

cos30°

=

0.2

3

3

m
所以油滴在P到M和N到Q過程中的運動時間t1=t3=

PM

v

=

0.1

3

3

s
則油滴從P到Q運動的時間t=t1+t2+t3=(

0.2

3

3

+

0.1

6

π)s≈0.17s
連接MN，當MN為圓形磁場的直徑時，圓形磁場面積最小，如圖所示．根據幾何關系圓形磁場的半徑r=Rsin30°=0.05m
其面積為S=πr²=0.0025πm²≈7.9×10^-3m²
答：（1）求油滴的質量m為1.0×10^-8kg．
（2）a．油滴在磁場中運動的時間為0.17s；
b．圓形磁場區域的最小面積S為7.9×10^-3m²．

點評：本題關鍵是先確定油滴的運動情況，并畫出運動軌跡，然后逐段逐段分析，勻速圓周運動階段洛倫茲力提供向心力，并結合幾何知識求解，難度適中．