Question

探究能力是物理學(xué)研究的重要能力之一．物體因繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)而具有的動(dòng)能叫轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的大小與物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度有關(guān)．為了研究某一砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k與角速度ω的關(guān)系．某同學(xué)采用了下述實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行探索：如圖先讓砂輪由動(dòng)力帶動(dòng)勻速旋轉(zhuǎn)測(cè)得其角速度ω，然后讓砂輪脫離動(dòng)力，由于克服轉(zhuǎn)軸間摩擦力做功，砂輪最后停下，測(cè)出砂輪脫離動(dòng)力到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)n，通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出結(jié)論．經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的幾組ω和n如下表所示：

ω/rad?s-1	0.5	1	2	3	4
n	5.0	20	80	180	320
Ek/J

另外已測(cè)得砂輪轉(zhuǎn)軸的直徑為1cm，轉(zhuǎn)軸間的摩擦力恒定為10/π（N）．
（1）計(jì)算出砂輪每次脫離動(dòng)力的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，并填入上表中．
（2）由上述數(shù)據(jù)推導(dǎo)出該砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k與角速度ω的關(guān)系式為

 

．
（3）若測(cè)得脫離動(dòng)力后砂輪的角速度為2.5rad/s，則它轉(zhuǎn)過(guò)45圈后的角速度為

 

rad/s．

Answer 1

分析：（1）砂輪克服轉(zhuǎn)軸間摩擦力做功公式W=f?n?πD，f是轉(zhuǎn)軸間的摩擦力大小，n是砂輪脫離動(dòng)力到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)，D是砂輪轉(zhuǎn)軸的直徑．根據(jù)動(dòng)能定理得知，砂輪克服轉(zhuǎn)軸間摩擦力做功等于砂輪動(dòng)能的減小，求解砂輪每次脫離動(dòng)力的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．
（2）采用數(shù)學(xué)歸納法研究砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k與角速度ω的關(guān)系式：當(dāng)砂輪的角速度增大為原來(lái)2倍時(shí)，砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k是原來(lái)的4倍；當(dāng)砂輪的角速度增大為原來(lái)4倍時(shí)，砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k是原來(lái)的16倍，得到E_k與ω²成正比，則有關(guān)系式E_k=kω²．將任一組數(shù)據(jù)代入求出比例系數(shù)k，得到砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k與角速度ω的關(guān)系式．
（3）根據(jù)動(dòng)能與角速度的關(guān)系式，用砂輪的角速度表示動(dòng)能，根據(jù)動(dòng)能定理求出轉(zhuǎn)過(guò)45圈后的角速度．

解答：解：
（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：E_k=f?n?πD，代入計(jì)算得到數(shù)據(jù)如下表所示．

ω/rad?s-1	0.5	1	2	3	4
n	5.0	20	80	180	320
Ek/J	0.5	2	8	18	32

（2）由表格中數(shù)據(jù)分析可知，當(dāng)砂輪的角速度增大為原來(lái)2倍時(shí)，砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k是原來(lái)的4倍，得到關(guān)系E_k=kω²．當(dāng)砂輪的角速度增大為原來(lái)4倍時(shí)，砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k是原來(lái)的16倍，得到E_k與ω²成正比，則有關(guān)系式E_k=kω²．k是比例系數(shù)．將任一組數(shù)據(jù)比如：ω=1rad/s，E_k=2J，代入得到k=2J?s/rad，所以砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k與角速度ω的關(guān)系式是E_k=2ω²
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得
-f?n?πD=2ω₂²-2ω₁²
代入解得ω₂=2rad/s
故答案為：（1）0.5，2，8，18，32；
          （2）2ω²；
          （3）2rad/s

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用動(dòng)能定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力．注意摩擦力做功與路程有關(guān)．