Question

12歲的華裔小女生馬天琪在美國火星探測車命名賽中奪冠，以“好奇心”命名探測車．“好奇號”火星探測器發射后經8個多月的長途跋涉，于2012年8月6日成功降落在火星表面，展開為期兩年的火星探測任務．著陸時這輛火星車借助一個懸浮的“火箭動力太空起重機”完成降落，如圖所示，著陸過程可簡化為豎直向下的勻減速直線運動，到達火星表面速度剛好為零．若探測器從距火星表面高度h處開始減速，經時間t安全著陸，組合體的質量為m，提供的動力為F，火星的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）火星表面的重力加速度．
（2）火星的平均密度．

Answer 1

分析：（1）探測器減速下降過程，已知下降的高度為h，末速度為零，時間為t，運用逆向思維：把探測器的運動看成沿相反方向的初速度為零的勻加速運動，即可由位移求出加速度大小，根據牛頓第二定律求出火星表面的重力加速度；
（2）得到火星表面的重力加速度，又已知火星的半徑為R，引力常量為G，根據萬有引力近似等于重力，列式可求出火星的質量．

解答：解：（1）設探測器減速下降時的加速度大小為a，火星表面的重力加速度為g，將探測器的運動看成初速度為零的豎直向上的勻加直線運動，則：
h=

1

2

at2
則得：a=

2h

t2

根據牛頓第二定律得：mg-F=ma    
解得：g=

F

m

+

2h

t2

     
（2）探測器在火星表面時，火星對它的萬有引力近似等于其重力，則有：
G

Mm

R2

=mg
又：ρ=

M

V

=

M

4 3 πR3

解得：ρ=

3

4GπR

（

F

m

+

2h

t2

）
答：
（1）火星表面的重力加速度為

F

m

+

2h

t2

．
（2）火星的平均密度為

3

4GπR

（

F

m

+

2h

t2

）．

點評：本題勻變速直線運動與萬有引力的綜合應用，根據天體表面的重力加速度、天體的半徑，即可求出天體的質量和平均密度．