Question

如圖15所示，AB和CDO都是處于豎直平面內的光滑圓弧形軌道，OA處于水    平位置。AB是半徑為R＝2m的1／4圓周軌道，CDO是半徑為r＝1m的半圓軌道，最高點O處固定一個豎直彈性檔板。D為CDO軌道的中央點。BC段是水平粗糙軌道，與圓弧形軌道平滑連接。已知BC段水平軌道長L＝2m，與小球之間的動摩擦因數μ＝0．4。現讓一個質量為m＝1kg的小球P從A點的正上方距水平線OA高H處自由落下。（取g＝10m／s²）

（1）當H＝1．4m時，問此球第一次到達D

點對軌道的壓力大小。

（2）當H＝1．4m時，試通過計算判斷此球是否會脫離CDO軌道。如果會脫離軌道，求脫離前球在水平軌道經過的路程。如果不會脫離軌道，求靜止前球在水平軌道經過的路程。

Answer 1

解析：（1）設小球第一次到達D的速度V_D

P到D點的過程對小球列動能定理：

mg(H+r)- μmgL=mV_D²/2      2分

在D點對小球列牛頓第二定律：F_N= mV_D²/r    1分

聯立解得：F_N=32N     1分

（2）第一次來到O點，速度V₁      

P到O點的過程對小球列動能定理：

mgH-μmgL=mV₁²/2

解得：V₁²=12               

要能通過O點，須mg<mV²/r

臨界速度V_O²=10             

故第一次來到O點之前沒有脫離

設第三次來到D點的動能E_K

對之前的過程列動能定理：

mg(H+r)- 3μmgL= E_K

代入解得：E_K=0              

故小球一直沒有脫離CDO軌道  

設此球靜止前在水平軌道經過的路程S

對全過程列動能定理：

mg(H+R）-μmgS=0

解得：S=8.5m