Question

我國探月工程實施“繞”“落”“回”的發展戰略．“繞”即環繞月球進行月表探測；“落”是著月探測；“回”是在月球表面著陸，并采樣返回．第一步“繞”已于2007年11月17日成功實現，“嫦娥一號”成功實施第三次近月制動，進入周期為T圓形越極軌道．經過調整后的該圓形越極軌道將是嫦娥一號的最終工作軌道，這條軌道距離月球表面為h₀，經過月球的南北極上空．已知月球半徑為R，萬有引力恒量G，
（1）求月球的質量M
（2）第二步“落”計劃于2012年實現，當飛船在月球表面著陸后，如果宇航員將一小球舉高到距月球表面高h處自由釋放，求落地時間t．

Answer 1

分析：研究“嫦娥一號”繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質量．
在星球表面，運用萬有引力等于重力這個思路求出星球表面重力加速度．
根據自由下落的運動規律求出落地時間t．

解答：解：（1）設“嫦娥一號”號的質量為m，根據萬有引力提供向心力得：

GMm

(R+h0)2

=m（R+h₀）(

2π

T

)2
所以：M=

4π2(R+h0)3

GT2

（2）設月球上的加速度為g
不考慮天體的自轉，對任何天體表面都可以認為：
G

Mm

R2

=mg ①，h=

1

2

gt² ②
由①②二式可得t=

2hR2 GM

=

2hR2T2 4π2(R+h0)3

答：（1）月球的質量M為

4π2(R+h0)3

GT2

（2）落地時間t為

2hR2T2 4π2(R+h0)3

．

點評：本題考查了萬有引力在天體中的應用，解題的關鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．
不考慮天體的自轉，對任何天體表面都可以認為G

Mm

R2

=mg．
重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．