Question

北京時間2008年9月25日21時10分許，“神舟七號”在酒泉衛星發射中心載人航天發射場由“長征二號F”運載火箭發射升空，點火后583秒時，飛船與火箭在高度約200公里處成功分離．它首先進入橢圓軌道I，繞行5圈后，在橢圓軌道的遠地點Q處變軌，進入圓軌道II運行，并于3天后在我國內蒙古中部草原安全著陸，其部分運行軌跡如圖．已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，“神舟七號”的質量為m，橢圓軌道的近地點P離地面高為h_l，“神舟七號”到達近地點P時的速率為V₁，遠地點Q離地面高為h₂，變軌前“神舟七號”運行到橢圓軌道的遠地點Q時的速率為V₂，則運行到橢圓軌道的近地點P時的加速度為

(

R

R+h1

)2g

，從橢圓軌道的近地點P運行到遠地點Q的過程中，萬有引力做的功為

1

2

mV22-

1

2

mV12

，從橢圓軌道的遠地點Q開始變軌，到在圓軌道II上運行的過程中，發動機需提供的能量為

mgR2

2(R+h2)

-

1

2

mV22

．

Answer 1

分析：根據牛頓第二定律結合萬有引力等于重力求出神舟七號在近地點P的加速度大小，通過動能定理求出從橢圓軌道的近地點P運行到遠地點Q的過程中，萬有引力做的功．根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出神舟前后在軌道II上的動能，從而求出發電機需提供的能量．

解答：解：根據牛頓第二定律得，神舟七號在近地點P時的加速度a=

G Mm (R+h1)2

m

=

GM

(R+h1)2

．
又GM=gR²
解得a=(

R

R+h1

)2g．
根據動能定理得，萬有引力做功W=

1

2

mV22-

1

2

mV12．
根據萬有引力提供向心力得，在圓軌道II上G

Mm

(R+h2)2

=m

v2

R+h2

，
又GM=gR²
則在圓軌道II上動能EK=

1

2

mv2=

mgR2

2(R+h2)

．
發動機需提供的能量為

mgR2

2(R+h2)

-

1

2

mV22．
故答案為：(

R

R+h1

)2g，

1

2

mV22-

1

2

mV12，

mgR2

2(R+h2)

-

1

2

mV22

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．