Question

（2008?威海模擬）2007年10月24日，“嫦娥一號”探月衛星發射成功，實現了中華民族千年的奔月夢想．2007年11月5日，“嫦娥一號”探月衛星變軌成功，開始繞月做勻速圓周運動．已知探月衛星距月球表面的高度為h繞月球做勻速圓周運動的周期為T，月球的半徑為R，引力常量為G，忽略其它天體對探月衛星的引力作用，試求：
（1）探月衛星的線速度的大小；
（2）月球的平均密度；
（3）月球第一宇宙速度的大小．

Answer 1

分析：（1）根據圓周運動的知識v=

2πr

T

求出探月衛星線速度的大小；
（2）根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中月球的質量，再根據密度定義求解密度；
（3）月球第一宇宙速度是靠近月球的環繞速度，由萬有引力提供向心力求解．

解答：解：（1）探月衛星線速度的大小為：v=

2π(h+R)

T

；
（2）設月球的質量為M，其平均密度為

.

ρ

，探月衛星的質量為m，月球對探月衛星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，所以：G=

Mm

(h+R)2

=m(h+R)

4π2

T2

；
解得月球的質量為：M=

4π2(R+h)3

GT2

；
由于：M=

4

3

πR3

.

ρ

；
聯立解得月球的平均密度為：

.

ρ

=

3π(R+h)3

GT2R2

；
（3）設月球第一宇宙速度的大小為v₁，由于：G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

；
解得：v1=

2π(R+h)

T

R+h R

；
答：（1）探月衛星的線速度的大小為

2π(h+R)

T

；
（2）月球的平均密度為

3π(R+h)3

GT2R2

；
（3）月球第一宇宙速度的大小為

2π(R+h)

T

R+h R

．

點評：能正確根據衛星運動時的向心力由萬有引力提供列出等式求解，第一宇宙速度也是近星的環繞速度．