Question

有一個固定豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現在最低點A給一質量為m的小球一個水平向右的初速度，使小球沿軌道恰好運動到最高點B，小球在B點又能沿BFA回到A點，到達A點時對軌道的壓力為4mg．求
（1）小球的初速度V₀
（2）由B經F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：1、給小球一初速度后，小球沿AEB做圓周運動，小球恰好過最高點，故在最高點B處只受重力，由mg=

mvB2

R

解得小球在B點的速度vB=

gR

．解決該題關鍵在于此．然后有動能定理或機械能守衡定律解出v₀．
2、在最低點A、小球受到的支持力和重力的合力充當向心力．由此可以解出v_A．再由動能定理即可解出摩擦力作的功．

解答：解：（1）由于小球恰好到達B點，
故小球沿AEB到B點的速度是mg=

mvB2

R

，
解得：vB=

gR

由動能定理：

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

=-mg2R
解得：v0=

5gR

 
（2）由于回到A點時對軌道壓力為4mg，對小球受力分析：小球受到豎直向下的重力mg和豎直向上的支持力4mg．支持力和重力的合力充當向心力．根據牛頓定律：
4mg-mg=

m v 2 A

R

，解得：vA=

3gR

；
小球由B經F回到A的過程中，
由動能定理：2mgR-Wf=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 B

和vA=

3gR

，vB=

gR

三式聯立解得：
W_f=mgR
答：（1）小球的初速度v0為

gR

；
   （2）由B經F回到A的過程中克服摩擦力所做的功為mgR．

點評：該題為圓周運動和機械能的結合，只要掌握了相關知識，挖掘出題中的關鍵字句隱含的條件，運用圓周運動和機械能的知識即可解決．