Question

（2008?福建模擬）如圖所示，在NOQ范圍內有垂直于紙面向里的勻強磁場I，在MOQ范圍內有垂直于紙面向外的勻強磁場Ⅱ，M、O、N在一條直線上，∠MOQ=60°，這兩個區域磁場的磁感應強度大小均為B．離子源中的離子帶電荷量為+q，質量為m，通過小孔O₁進入兩板間電壓為U的加速電場區域（可認為初速度為零），離子經電場加速后由小孔O₂射出，再從O點進入磁場區域I，此時速度方向沿紙面垂直于磁場邊界MN不計離子的重力．
（1）若加速電場兩板間電壓U=U₀，求離子進入磁場后做圓周運動的半徑R₀
（2）在OQ上有一點P，P點到O點距離為若離子能通過P點，求加速電壓U和從O點到P點的運動．

Answer 1

分析：（1）離子在電場中加速時，根據動能定理求解獲得的速度．離子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力，離子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求解離子進入磁場后做圓周運動的半徑R₀．
（2）OQ是一條直線，離子進入磁場時速度與OQ的夾角為30°，由幾何知識分析得知，離子每次經過OQ一次，速度偏轉60°，沿OQ方向前進的距離等于半徑R，若離子能通過P點，則有 L=nR，即可求解加速電壓，由圓心角求出時間．

解答：解：（1）離子在電場中加速時，根據動能定理得
   qU₀=

1

2

m

v

2 0

電子在磁場中運動時，由洛倫茲力提供向心力，則有
   qv₀B=m

v 2 0

R0

聯立解得，R₀=

1

B

2U0m q

（2）離子進入磁場時的運動軌跡如圖所示，由幾何關系可知 

.

OP′

=

.

P′P″

=R₀
要保證離子通過P點，必須有 L=nR
解得，U=

B2L2q

2mn2

 其中n=1，2，3，…
又離子運動的周期為 T=

2πm

qB

則離子從O點到P點的運動時間為 t=n?

π 3

2π

?T=

nπm

3qB

，其中n=1，2，3，…
答：（1）離子進入磁場后做圓周運動的半徑R₀為

1

B

2U0m q

．
（2）加速電壓U是

B2L2q

2mn2

其中n=1，2，3，…，離子從O點到P點的運動時間為

nπm

3qB

，其中n=1，2，3，…．

點評：本題分析離子在磁場中運動時，關鍵要抓住離子經過OQ邊界時速度方向與邊界的夾角相等，根據周期性求解半徑，確定時間．