Question

如圖，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一檔板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m．給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球不脫離軌道，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，（不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力），則v²可能是（　　）

A．gR

B．5gR

C．4gR

D．8gR

Answer 1

分析：小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過最高點(diǎn)速度最小時(shí)，軌道對(duì)球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的最小速度；為了不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最大速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最低點(diǎn)的速度范圍．

解答：解：在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m

v 2 1

R

，解得v₁=

gR

．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：2mgR+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²，解得v₁′=

5gR

．
豎直環(huán)A固定在木板B上，環(huán)對(duì)地面恰好無壓力時(shí)，球C對(duì)環(huán)向上的壓力為2mg，根據(jù)牛頓第三定律，環(huán)對(duì)球向下的壓力為2mg，故在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：mg+2mg=m

v 2 2

R

，解得v₂=

3gR

．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2mgR+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²，解得v₂′=

7gR

．
所以保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點(diǎn)的速度范圍為：

5gR

≤v≤

7gR

．
故：5gR≤v²≤7gR；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點(diǎn)的兩個(gè)臨界情況，求出在最高點(diǎn)的最大速度和最小速度．