Question

如圖所示，輕質細繩的一端系一質量m=0.01kg的小球，另一端系一光滑小環套在水平軸O上，O到小球的距離d=0.1m，小球跟水平面接觸無相互作用力，在球的兩側距球等遠處，分別豎立一固定擋板，兩擋板相距L=2m．水平面上有一質量為M=0.01kg的小滑塊，與水平面間的動摩擦因數μ=0.25，開始時，滑塊從左擋板處，以v₀=10m/s的初速度向小球方向運動，不計空氣阻力，設所有碰撞均無能量損失，小球可視為質點，g=10m/s²．則：
（1）在滑塊第一次與小球碰撞后的瞬間，懸線對小球的拉力多大？
（2）試判斷小球能否完成完整的圓周運動．如能完成，則在滑塊最終停止前，小球能完成完整的圓周運動多少次？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出木塊與小球碰撞前的速度，碰撞的過程中無能量損失，根據動量守恒定律和能量守恒定律求出碰后小球的速度，結合牛頓第二定律求出繩子拉力的大小．
（2）根據牛頓第二定律求出小球做圓周運動在最高點的最小速度，通過動能定理求出最后一次碰撞后的速度，抓住碰撞過程中速度交換，對木塊全過程運用動能定理，從而得出小球能完成完整圓周運動的次數．

解答：解：（1）根據動能定理得：-μMg?

L

2

=

1

2

Mv12-

1

2

Mv02
代入數據解得：v1=

95

m/s．
根據動量守恒定律得：Mv₁=Mv₁′+mv₂
根據能量守恒定律得：

1

2

Mv12=

1

2

Mv1′2+

1

2

mv22．
聯立解得：v2=v1=

95

m/s．
根據牛頓第二定律得：T-mg=m

v22

d

解得：T=mg+m

v22

d

=0.1+0.01×

95

0.1

N=9.6N．
（2）能．設第K次碰撞恰能完成完整的圓周運動，
在最高點的臨界速度為：v=

gd

根據動能定理得：-mg?2d=

1

2

mv2-

1

2

mvk2
解得：v_K=

5gd

…①
木塊與小球質量相等，碰撞過程中動量守恒、能量守恒，交換速度，
整個過程中由動能定理得：-（2K-1）μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 K

-

1

2

m

v

2 0

…②
由①②得k=10，可知小球能完成完整的圓周運動10次．      
答：（1）懸線對小球的拉力為9.6N．
（2）能，小球能完成完整的圓周運動10次．

點評：本題綜合考查動量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律和動能定理，綜合性較強，對學生的能力要求較高，是道難題．