Question

現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．萬有引力常量為G．求：
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T；
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測到運(yùn)動(dòng)周期為T′，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)．作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ的暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，并假定暗物質(zhì)與星體間的相互作用同樣遵守萬有引力定律．試根據(jù)這一模型計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T′．

Answer 1

分析：（1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，相互間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期T．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬有引力的暗物質(zhì)的引力的合力提供向心力，已知密度求出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解周期．

解答：解：（1）雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的速率為v，得：
M

v2

L 2

=G

M2

L2

    ①
T=

2π L 2

v

    ②
由①、②式得：T =πL

2L GM

（2）暗物質(zhì)的質(zhì)量為ρ?

4

3

πR3
根據(jù)合力提供向心力G

M2

L2

+

GMρ 4 3 π( L 2 )3

( L 2 )2

=M

L

2

(

2π

T′

)2 
解得T′=πL

6L G(3M+2πρL3)

 
答：（1）計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T為πL

2L GM

；
（2）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T′為πL

6L G(3M+2πρL3)

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于雙星問題和暗物質(zhì)問題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不在連線的中點(diǎn)，要采用隔離法研究．