Question

如圖所示，AB是一個半徑為R的圓弧（B點切線水平且距地面高也為R），在AB的圓弧軌道。上放一個半徑也為R的帶鉤的小圓弧片CD，再在CD的D端放一個質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點），已知小物塊與CD弧片間動摩擦因數(shù)為。現(xiàn)沿圓弧AB緩緩向上拉動CD弧片，直到小物塊開始滑離CD弧片為止（計算時，可以認(rèn)為最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小）。則：

（1）此過程中，CD弧片對小物塊的靜摩擦力對其所做的功為多少?

（2）若小物塊滑離CD沿AB軌道下滑又從B端滑出，并做平拋運(yùn)動，而后落到離E點水平距離也為R的水平地面上，則AB弧對小物塊的滑動摩擦力對其所做的功為多少?

Answer 1

（1）拉著CD弧片沿圓弧軌道AB緩緩向上運(yùn)動過程中,對小物塊進(jìn)行受力分析,共受到重力mg、支持力F_N和靜摩擦力F₀三個力的作用,設(shè)物塊與O點的連線與豎直方向的夾角為θ,那么,有

 F_N=mgcosθ 

當(dāng)θ從零開始逐漸增大的過程中,F_N逐漸減小,CD弧片能夠給小物塊的最大靜摩擦力F₀=μFN=mgcosθ越來越小,而引起小物塊沿CD弧片下滑趨勢的重力的沿圓弧軌道的切線方向的分力mgsinθ卻在逐漸增大,當(dāng)F₀=mgsinθ時,物塊即將離開弧片CD而下滑,設(shè)此時θ=θ₀,

則         

故此過程中物塊沿圓弧AB上升的高度為

           

由功能關(guān)系得靜摩擦力所做的功為

（2）設(shè)物塊離開AB做平拋運(yùn)動的初速度為v₀,由平拋運(yùn)動規(guī)律得:

R=v₀t,        R=     

∴             

設(shè)物塊沿AB弧下滑過程中,滑動摩擦力所做的功為W₂,則根據(jù)動能定理得:

∴W₂=－mgR/4