Question

如圖所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導軌，兩導軌間的距離為L，導軌平面與水平面的夾角是θ．在整個導軌平面內都有垂直于導軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感應強度為B．在導軌的AC端連接一個阻值為R的電阻．一根垂直于導軌放置的金屬棒ab，質量為m，從靜止開始沿導軌下滑，已知ab與導軌間的動摩擦因數為μ，導軌和金屬棒的電阻都不計，在棒開始運動到達到最終速度的過程中，整個電路共生熱Q，求ab棒的最終速度和棒下滑的距離．

Answer 1

分析：（1）金屬棒ab從靜止開始沿導軌下滑后，重力沿斜面向下的分力先大于安培力，后等于安培力，金屬棒先做加速度逐漸減小的加速運動，最后做勻速運動，達到穩定狀態，速度達到最大值．根據E=BLv、I=

E

R

和F=BIL推導出安培力公式，由平衡條件求出最大速度．
（2）金屬棒減少的機械能轉化為回路中的焦耳熱和摩擦生熱，由能量轉化和守恒定律求解棒下滑的距離．

解答：解：（1）金屬棒先沿斜面向下做加速度逐漸減小的加速運動，最后做勻速運動，速度達到最大值．
由E=BLv，I=

E

R

和F=BIL，得安培力 F=

B2L2v

R

由牛頓第二定律得 mgsinθ-BIL-μmgcosθ=ma
解得：a=g（sinθ-μcosθ）-

B2L2v

R

當加速度減小到0時，達到最大速度，設為v_m，
解得 v_m=

mg(sinθ-μcosθ)

B2L2

（2）設棒下滑的距離為x，由能量轉化和守恒定律得
   mgsinθ?x=

1

2

m

v

2 m

+μmgcosθ?x+Q
聯立解得，x=

m3g2(sinθ-μcosθ)2+2B4L4Q

2B4L4mg(sinθ-μcosθ)

答：ab棒的最終速度是

mg(sinθ-μcosθ)

B2L2

，棒下滑的距離是

m3g2(sinθ-μcosθ)2+2B4L4Q

2B4L4mg(sinθ-μcosθ)

．

點評：本題首先要根據牛頓運動定律分析金屬棒的運動情況，確定出速度最大時，導體做勻速運動，其次推導安培力表達式，根據能量守恒定律進行計算．