Question

計劃發射一顆距離地面高度為地球半徑R₀的圓形軌道地球衛星，衛星軌道平面與赤道平面重合，已知地球表面重力加速度為g，
（1）求出衛星繞地心運動周期T
（2）設地球自轉周期T₀，該衛星繞地旋轉方向與地球自轉方向相同，則在赤道上某一點的人能連續看到該衛星的時間是多少？

Answer 1

分析：（1）要求衛星繞地球運動的周期，可利用萬有引力提供衛星做圓周運動的向心力即

GMm

(2R0)2

=m

4π2

T2

（2R₀）求解T，要求T必須知道地球的質量M，而由于地球的質量未知，但地球表面的重力加速度g已知，故應該利用黃金代換公式

GMm

R02

=mg求出地球的質量M．
（2）當衛星與觀察者的連線與觀察者所在的地球的半徑垂直時觀察者開始看到衛星，當衛星與人的連線與人所在的地球的半徑垂直時人對衛星的觀察結束，故人隨地球轉動時人轉過的圓心角為OB₁與OB₂的夾角，該夾角大小為

t

T0

2π，衛星也在繞地球運動，其轉過的角度為

t

T

2π，而OA₂與OB₂之間的夾角等于OA₁與OB₁之間的夾角設為θ，而則cosθ=

OB1

OA1

=

1

2

，故θ=

π

3

．所以

2π

3

+

t

T0

2π=

t

T

2π．

解答：解：（1）地球對衛星的引力提供衛星做勻速圓周運動的向心力，故有

GMm

(2R0)2

=m

4π2

T2

（2R₀）
由于地球的質量未知，而地球表面的重力加速度g已知，
故有

GMm

R02

=mg
聯立以上二式可得衛星繞地心運動周期T=2π

8R0 g

=4π

R0 g

（2）設人在B₁位置剛好看見衛星出現在A₁位置，最后在B₂位置看到衛星從A₂位置消失，OA₁=2OB₁
設∠A₁OB₁=∠A₂OB₂=θ
則cosθ=

OB1

OA1

=

1

2

，
所以θ=

π

3

 
設人從B₁位置到B₂位置的時間為t，則人轉過的角度為

t

T0

2π，
衛星轉過的角度為

t

T

2π，
故有

2π

3

+

t

T0

2π=

t

T

2π，
將衛星繞地心運動周期T=2π

8R0 g

代入上式可得
t=

TT0

3(T0-T)

=

2π 8R0 g T0

3(T0-2π 8R0 g )

=

4π 2R0 g T0

3(T0-4π 2R0 g )

答：（1）衛星繞地心運動周期T等于4π

R0 g

．
（2）在赤道上某一點的人能連續看到該衛星的時間是

4π 2R0 g T0

3(T0-4π 2R0 g )

．

點評：在地球的質量不知而地球表面的重力加速度已知時，要用黃金代換公式表示地球的質量，這是我們經常使用的方法，要注意掌握．