Question

如圖所示，Oxyz為空間直角坐標(biāo)系，其中Oy軸正方向豎直向上。在整個(gè)空間中存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)0以速度v。沿Ox軸正方向射出，重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計(jì)。
（1）若在整個(gè)空間再加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小，以及小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)第一次通過(guò)z軸的z坐標(biāo)；
（2）若改變第（1）問(wèn)中所加電場(chǎng)的大小和方向，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出恰好沿Ox 軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小；
（3）若保持第（2）問(wèn)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)不變而撤去原有的磁場(chǎng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀。沿Ox軸正方向射出后，將通過(guò)A點(diǎn)，已知A點(diǎn)的x軸坐標(biāo)數(shù)值為x_A，求小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力做功的功率。

Answer 1

解：（1）設(shè)所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E₁，
由于帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
所以帶電小球受到的電場(chǎng)力必定與重力平衡，有qE₁=mg，解得
設(shè)帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，解得
帶電小球第一次通過(guò)z軸的z坐標(biāo)。 
（2）設(shè)所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E₂，帶電小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所受重力mg、洛倫茲力qv_oB以及電場(chǎng)力qE₂三力合力為零。
因洛倫茲力沿z軸的負(fù)方向，重力沿y軸的負(fù)方向，所以電場(chǎng)力
解得。
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電小球只受電場(chǎng)力和重力作用，這兩個(gè)力的合力大小為qv。
B，方向指向0z正方向，所以小球在xOz平面做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，帶電小球沿Ox軸正方向以v。
做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間
帶電小球沿0z軸正方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度大小
帶電小球到A點(diǎn)時(shí)沿0z正方向的分速度大小為v_z=a_zt
因重力在這個(gè)過(guò)程中不做功，小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力做功的功率等于合外力在此時(shí)的瞬時(shí)功率，
解得。