Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長(zhǎng)L＝0.2m，板間距d＝0.2m，兩金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，并在兩板間形成交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略其邊緣效應(yīng)。在金屬板右側(cè)有一方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左右寬度D＝0.4m，上下范圍足夠大，邊界MN和PQ均與金屬板垂直，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1×10^－2 T．現(xiàn)從t＝0開(kāi)始，從兩極板左側(cè)的中點(diǎn)O處以每秒鐘1000個(gè)的數(shù)量均勻連續(xù)地釋放出某種正電荷粒子，這些粒子均以v₀＝2×10⁵ m/s的速度沿兩板間的中線(xiàn)OO′連續(xù)進(jìn)入電場(chǎng)，已知帶電粒子的比荷＝1×10⁸C/kg，粒子的重力和粒子間的相互作用都忽略不計(jì)，在粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變．求：

(1)t＝0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離；
(2)在0～1s內(nèi)有多少個(gè)帶電粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)；
(3)何時(shí)由O點(diǎn)進(jìn)入的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)？

Answer 1

（1）0.4m（2）（3）t＝4n+0.6（s）或t＝4n+1.4（s） （n＝0，1，2……）

（18分，每問(wèn)6分）
解：（1）t＝0時(shí)刻，電壓為0，粒子勻速通過(guò)兩板進(jìn)入磁場(chǎng)，
                      （2分)
                  （2分)
r<D，則粒子在MN邊界射出磁場(chǎng)。
入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的距離為s＝2r＝0.4m        （2分)
（2）粒子在兩板間做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，剛好打到板最右端時(shí)，
L＝v₀t₁                             （3分)
U₀＝400V                                      （1分)
則0～1s內(nèi)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)為   （2分)
（3）假設(shè)兩板加電壓為U時(shí)，粒子向下偏轉(zhuǎn)并進(jìn)入磁場(chǎng)，剛好與磁場(chǎng)PQ邊界相切，
在磁場(chǎng)中，
由幾何關(guān)系得，R+Rsinθ＝D                             （2分)
在電場(chǎng)中，
聯(lián)立解得：θ＝37⁰

U＝300V                                             （2分)
U<U₀＝400V，則當(dāng)兩板電壓U＝300V，且粒子向下偏轉(zhuǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)入射的時(shí)刻為
t＝4n+0.6（s）或t＝4n+1.4（s） （n＝0，1，2……）           （2分)
本題考查的是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況，由于t=0時(shí)刻粒子勻速直線(xiàn)通過(guò)電場(chǎng)，垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做半周運(yùn)動(dòng)射出磁場(chǎng)，只需計(jì)算出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即可；粒子在兩板間做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，剛好打到板最右端時(shí)，能進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)這個(gè)條件算出能進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)；根據(jù)洛倫茲力的方向可知向下偏轉(zhuǎn)時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)兩板的電壓，從而的到粒子入射時(shí)刻。