Question

如圖所示，地面附近的坐標系xoy在豎直平面內，空氣有沿水平方向垂直于紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在x＜0的空間內還有沿x軸負方向、場強大小為E的勻強電場．一個帶正電的油滴經圖中x軸上的M點，沿與水平方向成a=30°角斜向下的直線運動，進入x＞0的區域．要使油滴進入x＞0的區域后能在豎直平面內做勻速圓周運動，需在x＞0區域加一個勻強電場．若帶電油滴做圓周運動通過x軸上的N點，且MO=ON，重力加速度為g，求：
（1）油滴運動的速度大小；
（2）在x＞0區域內所加電場的場強大小及方向；
（3）油滴從M點到N點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）油滴沿著直線MP做勻速運動，合力為零，作出油滴的受力示意圖，根據平衡條件和洛倫茲力公式列式，即可求得速率v．
（2）在x＞0的區域，油滴要做勻速圓周運動，其所受的電場力必與重力平衡，則可由平衡條件列式求得場強．
（3）分段求時間，勻速直線運動過程，根據位移和速率求解；勻速圓周運動過程，畫出軌跡，根據軌跡的圓心角求時間．

解答：解：（1）帶電油滴在x＜0區域內受重力mg，電場力qE和洛侖茲力f，油滴沿直線運動，重力和電場力為恒力，則與運動方向垂直的洛侖茲力f的大小一定不能變化，因此油滴一定做勻速直線運動．
由平衡條件可知qvB=

qE

sinα

①
     mg=qEcotα②
由①②兩式代人數據得v=

2E

B

③
    

m

q

=

3 E

g

④
（2）因油滴進入x＞0區域后做勻速圓周運動，
所受電場力qE'與重力等大反向，
即qE'=mg⑤
由④⑤得E′=

3

E⑥方向豎直向上．
（3）油滴從P點進入x＞0區域，然后做勻速圓周運動，其軌跡所對應的圓心角為120°，油滴從P到N的時間
t2=

T

3

=

2πm

3qB

⑦
由④⑦得：t2=

2 3 πE

3Bg

⑧
由幾何關系可知：圖中MP=

3

R，油滴從M到P的時間t1=

3 R

v

⑨
又R=

mv

Bg

⑩
又④⑨⑩得t 1=

3E

Bg

從M到N的總時間t=t 1+t2=(3+

2π 3

3

)

E

Bg

答：（1）油滴運動的速度是v=

2E

B

；
（2）在x＞0區域內所加電場的場強大小  E′=

3

E，方向豎直向上；
（3）油滴從M點到N點所用的時間t=(3+

2π 3

3

)

E

Bg

．

點評：本題是帶電體在復合場中運動的類型，分析受力情況和運動情況是基礎，小球做勻速圓周運動時，畫出軌跡，由幾何知識確定圓心角是求解運動時間的關鍵．