Question

如圖所示，無限長金屬導軌EF、PQ固定在傾角為θ=30°的光滑絕緣斜面上，軌道間距L=1m，底部接入一阻值為R=0.4Ω的定值電阻，上端開口．垂直斜面向上的勻強磁場的磁感應強度B=2T．一質量為m=0.8kg的金屬棒ab與導軌接觸良好，ab與導軌間沒有摩擦，ab連入導軌間的電阻r=0.1Ω，電路中其余電阻不計．現用一質量為M=2kg的物體通過一不可伸長的輕質細繩繞過光滑的定滑輪與ab相連．由靜止釋放M，不計空氣阻力，當M下落高度h=2.0m時，ab開始勻速運動（運動中ab始終垂直導軌，并接觸良好，g=10m/s²）．求：
（1）ab棒沿斜面向上運動的最大速度；
（2）ab棒從開始運動到勻速運動的這段時間內電阻R上產生的熱量；
（3）ab棒從開始運動到勻速運動的這段時間內流過電阻R的總電量．

Answer 1

分析：（1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運動，隨著速度增大，產生的感應電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當加速度為零時做勻速運動，速度就達到最大值．根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律推導出安培力與速度的關系式，結合平衡條件求解最大速度．
（2）在ab棒從開始運動到勻速運動的過程中，系統的重力勢能減小，轉化為系統增加的動能和焦耳熱，根據能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻R上產生的熱量．
（3）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式求解電量．

解答：解：（1）如圖所示，在ab棒做加速運動時，由于速度v的增加，安培力F變大，ab棒在做加速度逐漸減小的加速運動，當a=0時，
ab棒速度最大的為v_m，則：
Mg=mgsinθ+F                
又F=BIL=BL

BLvm

R+r

=

B2L2vm

R+r

               
聯立以上各式得：v_m=

(Mg-mgsinθ)(R+r)

B2L2

=

(20-8×sin30°)×(0.4+0.1)

22×12

=2m/s                      
（2）由系統的總能量守恒可知，系統減小的重力勢能等于系統增加的動能、焦耳熱之和，則有：
Mgh-mghsinθ=

1

2

（m+M）v_m²+Q          
解得：Q=Mgh-mghsinθ-

1

2

（m+M）v_m²=20×2-8×2×sin30°-

1

2

×（2+0.8）×2²=26.4J，
由于R與r串聯，電流相等，則根據焦耳定律得，電阻R上產生的熱量：Q_R=

R

R+r

Q=

0.4

0.4+0.1

×26.4J=21.12J                            
（3）因為流過電路的電量q=

.

I

△t，

.

I

=

. E

R+r

，E=

△φ

△t

得：q=

△φ

R+r

=

BLh

R+r

=

2×1×2

0.4+0.1

=8.0C              
答：（1）ab棒沿斜面向上運動的最大速度為2m/s；
（2）ab棒從開始運動到勻速運動的這段時間內電阻R上產生的熱量為21.12J；
（3）ab棒從開始運動到勻速運動的這段時間內流過電阻R的總電量為8.0C．

點評：本題有兩個關鍵：一是推導安培力與速度的關系；二是推導感應電荷量q的表達式，對于它們的結果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應的問題．