Question

N個相同的木塊（可視為質點），每塊的質量都是m，放置在傾角為θ的斜面上，相鄰兩木塊間的距離為l，最下端的木塊距離斜面底端也是l，木塊與斜面間的動摩擦因數為μ，如圖所示．在開始時刻，第一個木塊以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止．由于第一個木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞，在每次碰撞后，發生碰撞的木塊都粘在一起運動，直到最后第n個木塊到達斜面底端時，剛好停在底端．求：
（1）第一次碰撞前第一個木塊的動能E₁；
（2）在整個過程中由于碰撞而損失的總機械能△E．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，即可求解；
（2）根據機械能損失，轉化為內能，由能量守恒定律，即可求解．

解答：解：（1）設第一次碰前第一個木塊的動能為E₁，
由動能定理得，mglsinθ-μmglcosθ=E₁-

1

2

mv₀²
解得：E₁=

1

2

mv₀²+mglsinθ-μmglcosθ
（2）在整個過程中第n個木塊運動l，第n-1個木塊運動2l…第一個木塊運動nl，
整個過程機械能損失：△E=

1

2

m

v

2 0

+mgsinθ(1+2+…+n)l=

1

2

m

v

2 0

+

n(n+1)

2

mglsinθ
整個過程中由于摩擦做功轉化為內能的能量：Q=

n(n+1)

2

μmglcosθ
設由于碰撞損失的機械能△E′
△E′+Q=△E
△E′=△E-Q=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

n(n+1)mgl（sinθ-μcosθ）
答：（1）第一次碰撞前第一個木塊的動能E₁=

1

2

mv₀²+mglsinθ-μmglcosθ；
（2）在整個過程中由于碰撞而損失的總機械能△E=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

n(n+1)mgl(sinθ-μcosθ)．

點評：考查動能定理與能量守恒定律的應用，注意動能定理的過程選取，掌握機械能守恒條件．