Question

（2007?蘇州二模）一玩具“火箭”由箭頭和箭身兩部分和一短而硬（即勁度系數很大）的輕質彈簧構成．已知箭頭的質量為m，箭身的質量為2m，彈簧夾在箭頭與箭身之間，與二者接觸而不連接．讓箭頭、箭身壓緊彈簧，并將它們鎖定，此時彈簧的彈性勢能為已知的定值E₀，通過遙控可解除鎖定，設這一釋放過程的時間極短，且無機械能損失．
第I種方案：讓玩具懸空在一枯井的井口并處于靜止狀態時解除鎖定，從而使箭頭升空．
第Ⅱ種方案：讓玩具在井口處從靜止開始自由下落，撞擊井底（井足夠深）后以原速率反彈，反彈后當玩具豎直向上運動到離井口深度為某值h時解除鎖定．已知在上述過程中箭頭始終在上方，求
（1）在第I種方案中，箭頭升空到達的最大高度（從井口算起）H₁；
（2）在第Ⅱ種方案中，欲使解除鎖定前、后箭頭動能的增量不小于彈簧的彈性勢能E₀，求解除鎖定時箭頭離井口深度h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在第I種方案中，解除鎖定時，箭頭、箭身、彈簧組成的系統動量守恒、機械能守恒，根據兩大守恒定律列式求出彈簧剛伸長至原長的時刻，設箭頭速度的大小為彈簧恢復原長后箭頭和箭身的速度大小，再對箭頭，根據機械能守恒定律求最大高度H₁；
（2）在第Ⅱ種方案中，玩具先自由下落，由機械能守恒列式求出到井底前瞬間的速度大小，即為反彈后的速度大小．解除鎖定過程，同樣根據系統動量守恒、機械能守恒列式求出深度h的取值范圍．

解答：解：（1）在彈簧剛伸長至原長的時刻，設箭頭速度的大小為v₁、方向向上，箭身速度的大小為v₂，方向向下，根據系統動量守恒，則有
  mv₁-2mv₂=0      ①
根據機械能守恒有
 

1

2

m

v

2 1

+

1

2

(2m)

v

2 2

=E₀    ②
解①、②兩式，得
 v₁=

4E0 3m

 ③
設箭頭升空到達的最高點到井口的距離為H₁，則
  H₁=

v 2 1

2g

   ④
聯立解得：H₁=

2E0

3mg

  ⑤
（2）在玩具自井底反彈向上運動至離井口的深度為h時，解除鎖定前玩具向上的速度為
 u=

2gh

  ⑥
設解除鎖定后，彈簧剛伸長至原長時，箭頭速度的大小為v₁′、方向向上，箭身速度的大小為v_2′，方向向下，則有
  mv₁′-2mv₂′=3mu ⑦
 

1

2

mv1′2+

1

2

(2m)v2′2=

1

2

(3m)u2+E0  ⑧
對于箭頭：據題意知解除鎖定前、后其動能的增量應滿足關系式
 

1

2

mv1′2+

1

2

mu2≥E₀ ⑨
聯立⑥⑦⑧⑨式解得，h的取值范圍為 h≥

E0

24mg

答：
（1）在第I種方案中，箭頭升空到達的最大高度（從井口算起）H₁為

2E0

3mg

．
（2）在第Ⅱ種方案中，欲使解除鎖定前、后箭頭動能的增量不小于彈簧的彈性勢能E₀，解除鎖定時箭頭離井口深度h的取值范圍為 h≥

E0

24mg

．

點評：本題要抓住解鎖過程，系統的動量守恒和機械能守恒，按程序法進行分析，加以討論分析，即可正確解答．