Question

（2013?普陀區二模）在“利用單擺測重力加速度”的實驗中：
（1）已知單擺小球的質量為m，擺長為l，某地重力加速度為g，當單擺做擺角不超過5°的振動時，通過證明可以得到回復力F=-kx，其中k=

mg

l

．
（2）某同學嘗試用DIS測量周期．如圖甲所示，用一個磁性小球代替原先的擺球，在單擺下方放置一個磁傳感器，其軸線恰好位于單擺懸掛點正下方．使單擺做小角度擺動，當磁感應強度測量值最大時，磁性小球位于最低點．若測得連續N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期的測量值為

2t

N-1

（地磁場和磁傳感器的影響可忽略）．
（3）經理論推導可知，單擺在任意擺角θ時的周期公式可近似為T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），式中T₀為當擺角θ趨近于0°時的周期．為了用圖象法驗證該關系式，若某同學在實驗中得到了如圖乙所示的圖線，則圖線的斜率為

4

T0

，縱軸截距為

-4

．

Answer 1

分析：（1）擺動時，擺球受重力與繩子的拉力，重力的切向分量提供回復力，其大小為mgsinθ，當角度很小時，F=-mg

x

l

，故k=

mg

l

；
（2）單擺做小角度擺動，當磁感應強度測量值最大時，磁性小球位于最低點（或平衡位置）．若測得連續N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺的周期為：T=

2t

N-1

（3）根據T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），得到sin²

θ

2

=

4

T0

?T-4，故圖象是sin²

θ

2

-T圖象．

解答：解：（1）擺動時，重力的切向分量提供回復力，其大小為mgsinθ；
當角度θ很小時，有θ=

x

l

；
∴F=-mgsinθ=-mg

x

l

，故k=

mg

l

；
（2）單擺做小角度擺動，當磁感應強度測量值最大時，磁性小球位于最低點（或平衡位置）．若測得連續N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，是

N-1

2

個周期，則單擺的周期為：T=

2t

N-1

（3）根據T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），得到sin²

θ

2

=

4

T0

?T-4，故乙圖是sin²

θ

2

-T圖象，斜率為

4

T0

，縱軸截距為-4；
故答案為：
（1）

mg

l

；
（2）

2t

N-1

；
（3）

4

T0

，-4．

點評：本題第三問關鍵根據表示對分析出sin²

θ

2

與T是線性關系，然后根據截距情況得到是sin²

θ

2

-T圖象，而不是T-sin²

θ

2

圖象，較難．