Question

如圖所示，質量為M且足夠長的木板在光滑的水平面上，其右端有一質量為m、可視為質點的滑塊，滑塊與木板間的動摩擦因數為μ．勁度系數為k的水平輕彈簧的右端O固定不動，其自由端A與滑塊之間的距離為L．現給木板以水平向右的瞬時速度v₀，滑塊將由靜止開始向右運動，與彈簧接觸后經過時間t，滑塊向右運動的速度達到最大，設滑塊的速度始終小于木板的速度，彈簧的形變是在彈性限度內，重力加速度大小為g，不計空氣阻力．求：
（1）滑塊剛接觸彈簧時滑塊的速度v₁大小和木板的速度v₂大��；
（2）滑塊向右運動的速度達到最大值的過程中．彈簧對滑塊所做的功W；
（3）滑塊向右運動的速度最大值v_m及其速度最大時滑塊與木板的右端之間的距離s．

Answer 1

分析：（1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運動，由動能定理可以求得滑塊的速度v₁，對滑塊和木塊組成的系統，由動量守恒定律可以求得木板的速度v₂；
（2）滑塊接觸彈簧向右運動的過程中，當滑塊受到的滑動摩擦力和彈簧彈力相等時，加速度為0，此時速度達到最大值，可以求出此時彈簧的被壓縮的長度，由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長度成正比，故可根據公式求得W；
（3）對木板用動量定理可以算出木板的速度，再對滑塊和木板分別用動能定理即可解出．

解答：解：（1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運動了L距離，
       由動能定理得；μmgL=

1

2

mv12解得：v₁=

2μgL

       對滑塊和木塊組成的系統，由動量守恒定律得：Mv₀=Mv₂+mv₁
       解得：v₂=v₀-

m

M

2μgL

（2）滑塊接觸彈簧向右運動的過程中，當滑塊受到的滑動摩擦力和彈簧彈力相等時，加速度為0，此時速度達到最大值，此時彈簧的被壓縮的長度為x，則：
       μmg=kx解得：x=

μmg

k

由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長度成正比，所以有W=-

1

2

kx? x=-

μ2m2g2

2k

（3）滑塊向右運動速度達到最大值時，設滑塊的最大速度為v_m時木板速度大小為v，在彈簧被壓縮的長度為x的過程中，
      對木板由動量定理得：
-μmgt=M（v-v₂）
    解得：v=v₀-

m

M

2μgL

-

μmgt

M

    分別對滑塊和木板用動能定理得：
     μmgx+W=

1

2

m vm2-

1

2

mv12
-μmg（L+x+s）=

1

2

Mv 2 -

1

2

Mv02
     解得：v_m=

μ2mg2 k +2μgL

           s=

M

2μmg

[v02-( v0-

m

M

2μgL

-

μmgt

M

)2] -

μmg

k

-L
答：（1）滑塊剛接觸彈簧時滑塊的速度v₁大小為

2μgL

，木板的速度v₂大小為v₀-

m

M

2μgL

；
    （2）滑塊向右運動的速度達到最大值的過程中，彈簧對滑塊所做的功W為-

μ2m2g2

2k

；
    （3）滑塊向右運動的速度最大值v_m為

μ2mg2 k +2μgL

，其速度最大時滑塊與木板的右端之間的距離s為

M

2μmg

[v02-(v0-

m

M

2μgL

-

μmgt

M

)2] -

μmg

k

-L．

點評：該題考查了動量守恒定律和動能定理相關知識點的綜合應用，難度較大，要求同學們能夠根據題目要求正確選取研究對象和研究過程，運用動量守恒定律和動能定理解題，該題要注意當滑塊受到的滑動摩擦力和彈簧彈力相等時，加速度為0，此時速度達到最大值．