Question

如圖所示，固定斜面的傾角θ=30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數為μ=

3

2

，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點．用一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側繩子與斜面平行，A的質量為2m，B的質量為m，初始時物體A到C點的距離為L．現給A、B一初速度v₀使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，整個過程中，輕繩始終處于伸直狀態，求此過程中：
（1）物體A向下運動剛到C點時的速度；
（2）彈簧的最大壓縮量；
（3）彈簧中的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）物體A向下運動到C點的過程中，A的重力勢能及AB的動能都減小，轉化為B的重力勢能和摩擦生熱，根據能量守恒定律列式求出物體A向下運動剛到C點時的速度；
（2）從物體A接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后回到C點的過程中，彈簧的彈力和重力做功都為零，根據動能定理求出彈簧的最大壓縮量；
（3）彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，根據能量守恒定律求解彈簧中的最大彈性勢能．

解答：解：（1）A和斜面間的滑動摩擦力大小為f=2μmgcosθ，物體A向下運動到C點的過程中，根據功能關系有：
2mgLsinθ+

1

2

?3mv₀²=

1

2

?3mv²+mgL+fL，
代入解得v=

v 2 0 -gL

．
（2）從物體A接觸彈簧，將彈簧壓縮到最短后又恰回到C點，對系統應用動能定理，
-f?2x=0-

1

2

×3mv²，解得x=

3 v02

4μg

-

L

2

=

v 2 0

2g

-

L

2

．
（3）彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，對系統根據能量關系有
   E_p+mgx=2mgxsinθ+fx
因為mgx=2mgxsinθ
所以E_p=fx=

3

4

mv₀²-

3

2

μmgL=

3

4

mv₀²-

3

4

mgL．
答：
（1）物體A向下運動剛到C點時的速度為

v 2 0 -gL

；
（2）彈簧的最大壓縮量為

v 2 0

2g

-

L

2

；
（3）彈簧中的最大彈性勢能為

3

4

mv₀²-

3

4

mgL．

點評：本題關鍵是搞清能量如何轉化的，可以先分清在物體運動的過程中涉及幾種形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量減小，再判斷能量如何轉化．