Question

我國“神舟”六號宇宙已經發射成功，當時在飛船控制中心的大屏幕上出現的一幅衛星運行軌跡圖，如圖所示，它記錄了“神舟”六號飛船在地球表面垂直投影的位置變化；圖中表示在一段時間內飛船繞地球圓周飛行四圈，依次飛經中國和太平洋地區的四次軌跡①、②、③、④，圖中分別標出了各地點的經緯度（如：在軌跡①通過赤道時的經度為西經156°，繞行一圈后軌跡②兩次經過赤道時經度為180°…），若已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度g，地球自轉周期為24h，根據圖中的信息：
（l）如果飛船運行周期用T表示，試寫出飛船離地面高度的表達式
（2）求飛船運行的周期

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，通過周期關系，得出軌道半徑關系，從而求出“神舟六號”離地面的高度．
（2）在軌跡①通過赤道時的經度為西經156°，繞行一圈后軌跡②再次經過赤道時經度為l80°，即“神舟六號”轉一圈，地球自轉轉過24°，可求出“神舟六號”與地球自轉周期的關系，從而可求出“神舟六號”的周期．

解答：解：（1）飛船繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，
設地球質量是M，飛船質量是m，軌道半徑是r，
由牛頓第二定律可得：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r…①
地球表面的物體m′受到的重力等于地球對它的萬有引力，
即：m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②可以解得：r=

3	gR2T2 4π2

，
則飛船離地面的高度h=r-R=

3	gR2T2 4π2

-R；
（2）從圖中信息可知，“神舟六號”轉一圈，地球自轉轉過180°-156°=24°，
所以“神舟六號”的周期為：T=

24°

360°

×T地球=

1

15

×3600×24=5760s．
答：（l）如果飛船運行周期用T表示，飛船離地面的高度h=

3	gR2T2 4π2

-R；
（2）飛船運行的周期是5760s．

點評：解決本題的關鍵通過“神舟六號”轉一圈，地球轉過的角度，得出他們的周期關系，通過萬有引力提供向心力，得出軌道半徑關系．