Question

如圖所示，一個矩形線圈的ab、cd邊長為L₁，ad、bc邊長為L₂，線圈的匝數為N，線圈處于磁感應強度為B的勻強磁場中，并以OO′為中心做勻速圓周運動，（OO′與磁場方向垂直，線圈電阻不計），線圈轉動的角速度為ω，若線圈從中性面開始計時，請回答下列問題：
（1）請用法拉第電磁感應定律證明該線圈產生的是正弦交流電．
（2）用該線圈產生的交流電通入電阻為R的電動機時，形成的電流有效值為I，請計算該電動機的輸出的機械功率（其它損耗不計）．
（3）用此電動機將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導體棒EF從靜止向上拉，已知導體棒的質量為m，U型金屬框架寬為L且足夠長，內有垂直向里的勻強磁場，磁感應強度為B₀，導體棒上升高度為h時，經歷的時間為t，且此時導體棒剛開始勻速上升，棒有效電阻為R₀，金屬框架的總電阻不計，棒與金屬框架接觸良好，請計算：
①導體棒勻速上升時的速度和已知量的關系．
②若t時刻導體棒的速度為v₀，求t時間內導體棒與金屬框架產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）矩形線圈的ab、cd切割磁感線，根據感應電動勢公式e=BLvsinα推導感應電動勢瞬時值表達式．
（2）根據能量守恒定律得到：電動機的輸出的機械功率P_機=P_入-P_Q=UI-I²R，U是電壓有效值．
（3）①電機帶導體棒勻速上升時，電動機的牽引力與導體棒的重力和安培力的合力平衡，推導導體棒勻速上升時的速度和已知量的關系式．
②對導體棒，電動機牽引力做正功，安培力和重力做負功，根據動能定理列方程，求出導體棒克服安培力做的功，即導體棒與金屬框架產生的焦耳熱．

解答：解：
（1）證明：
如圖所示，邊長L₁切割磁感線產生電動勢
   e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt   
   而線速度V=

L2ω

2

則e₁=BL₁

L2ω

2

sinωt  
因有線圈兩個邊切割，且有N匝
所以e=2Ne₁=NBL₁L₂ωsinωt      
即：e=E_msinωt，其中E_m=NBL₁L₂ω．
（2）電流通過電動機時，輸入的功率
P_入=UI=

NBL1L2ω

2

I            
由能量守恒知：
  P_入=P_Q+P_機
∴機械功率P_機=

NBL1L2ω

2

I-I²R           
（3）①電機帶導體棒勻速上升．受力如圖
由平衡條件得  F=B₀IL+mg  
  又I=

B0Lv

R0

，F=

P

v

  
得到

P

v

=mg+

B 2 0 L2v

R0

即：

NBL1L2ω

2

I-I²R=mgv+

B 2 0 L2v

R0

v 
②對上升h應用動能定理：
Pt-W-mgh=

1

2

mv₀²-0        
得  Q=W=Pt-mgh-

1

2

mv₀² 
Q=（

NBL1L2ω

2

I-I²R）t-mgh-

1

2

mv₀²
答：
（1）證明見上．
（2）電動機的輸出的機械功率為

NBL1L2ω

2

I-I²R．
（3）①導體棒勻速上升時的速度和已知量的關系是

NBL1L2ω

2

I-I²R=mgv+

B 2 0 L2v

R0

v．
     ②t時間內導體棒與金屬框架產生的焦耳熱是（

NBL1L2ω

2

I-I²R）t-mgh-

1

2

mv₀²．

點評：本題問題較多，所用物理知識并不復雜，主要是電磁感應、電路、磁場和力學知識，只要基本功扎實，并不困難．