Question

如圖所示，光滑的平行金屬導軌CD與EF間距為L=1m，兩導軌所在平面與水平面夾角為θ=30°，導軌上端用導線CE連接（導軌和導線電阻不計），導軌處在磁感應強度為B=0.1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中．一根電阻為R=1Ω的金屬棒MN兩端有導電小輪擱在兩導軌上，金屬棒MN上有吸水裝置P，取沿導軌向下為x軸正方向．坐標原點O在CE中點，開始時金屬棒MN處在x=0位置（即與CE重合），金屬棒MN的起始質量不計．當金屬棒MN由靜止開始下滑時，便開始吸水，質量逐漸增大，設金屬棒MN質量的增加量與位移x的平方根成正比，即m=k

x

，k為一常數，k=0.1kg?m^-

1

2

．
（1）猜測金屬棒MN下滑過程中做的是什么性質的運動，并加以證明．
（2）金屬棒MN下滑2m的位移時，其速度為多大？

Answer 1

分析：（1）通過分析受力情況，來分析金屬棒的運動情況：棒從靜止開始運動，首先可以確定棒開始階段做加速運動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化，棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關，也隨位移增大而增大，如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運動． 假設棒做的是勻加速運動，根據牛頓第二定律求出加速度的表達式，根據加速度，分析假設是否正確．
（2）根據第1問分析得知，棒做勻加速運動，將x=2m代入加速度的表達式，求出加速度，由運動學公式求解速度．

解答：解：（1）由于棒從靜止開始運動，因此首先可以確定棒開始階段做加速運動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化．
如圖所示，棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關，也隨位移增大而增大，如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運動．
假設棒做的是勻加速運動，且設下滑位移x時的加速度為a_x，根據牛頓第二定律，有
  mgsinθ-F=ma_x，
而安培力F=BIL=B

BLv

R

L=

B2L2v

R

所以mgsinθ-

B2L2v

R

=ma_x，
假設棒做勻加速直線運動，則瞬時速度v=

2axx

，
由于m=k

x

，
代入后得：k

x

gsinθ-

B2L2

R

2axx

=k

x

a_x，
則得kgsinθ-

B2L2

R

2ax

=ka_x，①
從上述方程可以看出的解a_x是一個定值，與位移x無關，這表明前面的假設成立，棒的運動確實是勻加速直線運動．若a_x與位移x有關，則說明a_x是一個變量，即前面的假設不成立．
（2）為了求棒下滑2m時的速度，應先求出棒的加速度．將題目給出的數據代①式得到
0.1×10×0.5-

0．12×12× 2a

1

=0.1a
化簡得 10a+

2

?

a

-50=0
令y=

a

，則得 y²+y-50=0
解得，a=4.69m/s²
根據勻變速運動規律，v=

2ax

=4.33m/s
答：
（1）猜測金屬棒下滑過程中做的是做勻加速運動，證明如上．
（2）金屬棒下滑2m位移時速度為4.33m/s．

點評：通過先猜測，再進行證明，確定導體棒的運動情況，體現了科學研究常用的思路．當然，要有扎實的基本知識作為基礎，才能進行分析．