Question

（2013?湖南模擬）質量為m=1kg的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點進入豎直光滑的圓孤軌道下滑．B、C為圓弧的兩端點，其連線水平．已知圓弧半徑R=1.0m圓弧對應圓心角θ=106°，軌道最低點為O，A點距水平面的高度h=0.8m，小物塊離開C點后恰能無碰撞的沿固定斜面向上運動，0.8s后經過D點，物塊與斜面間的動摩擦因數為μ₁=

1

3

（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）試求：
（1）小物塊離開A點時的水平初速度v₁．
（2）小物塊經過O點時對軌道的壓力．
（3）假設小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ₂=0.3，傳送帶的速度為5m/s，則PA間的距離是多少？
（4）斜面上CD間的距離．

Answer 1

分析：（1）利用平拋運動規律，在B點對速度進行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關系，
而豎直方向速度V_y=

2gh

顯然易求，則水平速度V₀可解．
（2）首先利用動能定理解決物塊在最低點的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據牛頓第三定律可求對軌道的壓力．
（3）根據牛頓第二定律和運動學公式求解．
（4）物塊在軌道上上滑屬于剎車問題，要求出上滑的加速度、所需的時間；再求出下滑加速度、距離，利用勻變速直線運動規律公式求出位移差．

解答：解：（1）對小物塊，由A到B有v_y²=2gh
在B點tan

θ

2

=

vy

v0

所以v₀=3m/s．
（2）對小物塊，由B到O由動能定理可得：
mgR（1-sin37°）=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 B

其中v_B=5m/s
在O點N-mg=

mv 2 0

R

所以N=43N
由牛頓第三定律知對軌道的壓力為N′=43N
（3）傳送帶的速度為5m/s，所以小物塊在傳送帶上一直加速，
μ₂mg=ma₃
PA間的距離是S_PA=

v 2 1

2a3

=1.5m
（4）物塊沿斜面上滑：mgsin53°+μmgcos53°=ma₁
所以a₁=10m/s²
物塊沿斜面下滑：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂ a₂=6m/s²
由機械能守恒知v_c=v_B=5m/s
小物塊由C上升到最高點歷時t1=

vC

a1

=0.5s
小物塊由最高點回到D點歷時t₂=0.8s-0.5s=0.3s
故SCD=

vC

2

t1-

1

2

a₂

t

2 2

即S_CD=0.98m．
答：（1）小物塊離開A點的水平初速度為3m/s．
 （2）小物塊經過O點時對軌道的壓力為43N
 （3）則PA間的距離是1.5m
 （4）斜面上CD間的距離為0.98m

點評：本題是一個單物體多過程的力學綜合題，把復雜的過程分解成幾個分過程是基本思路．
本題關鍵是分析清楚物體的運動情況，然后根據動能定理、平拋運動知識、牛頓第二定律、向心力公式列式求解．