Question

如圖所示，在xoy坐標系第一象限內有勻強磁場，磁場區(qū)域上邊界剛好與直線y=a重合，磁感應強度為B。一個帶正電的離子在坐標為（a，0）的A點以某一速度進入磁場區(qū)域，進入磁場時速度方向與x軸正向夾角為30°，離子質量為m，帶電量為q。不計離子重力。

（1）若離子離開磁場時位置坐標為（a，a ）的C點，求離子運動的速度大小？
（2）當離子進入磁場的速度滿足什么條件時可使離子在磁場區(qū)域運動的時間最長？并求出最長時間是多少？

Answer 1

（1）（2）  

試題分析：(1)若離子從y軸離開磁場區(qū)域時，其運動軌跡如圖1所示，

由幾何關系得軌跡半徑為
又離子在磁場中
得 
（2）離子在磁場中    得
運動的周期為            聯立得 
若為離子運動軌跡對應的圓心角，則離子在磁場中的運動時間為

則離子在磁場中的運動時間與離子的速度大小無關，與軌跡的圓心角有關。如圖2，

只有當離子從x軸離開磁場（即離子既不從磁場的上邊界離開磁場，也不從y軸離開磁場）時，離子運動軌跡的圓心角最大。由幾何關系，最大圓心角為。
①若離子剛好不能從磁場區(qū)域上邊界離開磁場，則軌跡恰好與上邊界相切，如圖3，由幾何關系
得，其軌跡半徑為
②若離子剛好不能從y軸離開磁場，則軌跡與y軸相切，如圖4，由幾何關系R₂+R₂sin30°=a得，其軌跡半徑為R₂=
綜上所述，要使離子從x軸離開磁場，則其軌跡半徑必須滿足R＜R₁，且R＜R₂，即R＜
即要使離子能在磁場中運動時間最長，則離子運動的速度必須滿足

運動的最長時間為t=