Question

如圖所示，在以坐標原點O為圓心，半徑為R的半圓形區域內，有一磁場方向垂直于xOy坐標平面、磁感應強度為B的勻強磁場．一帶正電的粒子（不計重力）以速度為v₀從原點O沿x軸正向進入磁場，帶電粒子恰好不能飛出磁場．求：
（1）磁場的方向和粒子的比荷．
（2）若將上述粒子的入射點上移至y軸上的A點，將粒子仍以速度v₀平行x軸正向射入磁場，若要粒子射出磁場區域后不能通過y軸，則OA的距離至少為多少？
（3）若將上述粒子的入射點上移至y軸上的M點，仍將粒子以速度v₀平行x軸正向射入磁場，已知帶電粒子通過了磁場邊界上的P點，且P點的x值為+

R

4

，后來粒子軌跡與y軸交于N點，則粒子自M至N運動的時間為多少？

Answer 1

分析：（1）磁場的方向由左手定則判斷；據題，帶電粒子恰好不能飛出磁場，說明粒子的軌跡恰好與磁場邊界相切，作出軌跡，根據幾何知識得到軌跡的半徑，即可根據牛頓第二定律求出粒子的比荷．
（2）若要粒子射出磁場區域后不能通過y軸，則在磁場區域粒子最多運動四分之一周期．畫出軌跡，由幾何知識求解．
（3）畫出軌跡，根據數學知識求出軌跡所對應的圓心角α，由t=

α

2π

T求解時間．

解答：解：（1）由左手定則可知：勻強磁場的磁感應強度的方向垂直于紙面向里．
設粒子在磁場區域做勻速圓周運動的半徑為r由題意有：R=2r  ①

 qBv₀=m

v 2 0

r

  ②
解①②得：

q

m

=

2v0

BR

  ③
（2）若要粒子射出磁場區域后不能通過y軸，則在磁場區域粒子最多運動四分之一周期．則由圖乙有：
 sinα=

R 2

R

=

1

2

，α=30°  ④
則 OA=Rcosα-r  ⑤
解④⑤得：
 OA=

3 -1

2

R
（3）設粒子在磁場區域做勻速圓周運動的圓心為O′，過P作y軸垂線得垂足為Q由圖丙有：

  sinθ=

R 4

R 2

=

1

2

，
 則得 θ=

π

6

  ⑥
設粒子在磁場區域做勻速圓周運動的周期和運動時間分別為T，t₁則
 T=

2πr

v0

⑦
 t₁=

π-θ

2π

T  ⑧
設粒子出磁場后從P至N做勻速運動時間為t₂則
 tanθ=

PN

r

  ⑨
 t₂=

PN

v0

  ⑩
粒子自M至N運動的時間 t=t₁+t₂
解⑥⑦⑧⑨⑩得：t=

(5π+2 3 )

12

R

v0

答：（1）勻強磁場的磁感應強度的方向垂直于紙面向里，粒子的比荷為

q

m

=

2v0

BR

．
（2）OA的距離至少為

3 -1

2

R．
（3）粒子自M至N運動的時間為

(5π+2 3 )

12

R

v0

．

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．