Question

圖示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機”．工作時，電動機帶動兩個緊壓夯桿的滾輪勻速轉運將夯桿從深為h的坑中提上來，當兩個滾輪彼此分開時，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底．然后，兩個滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來，如此周而復始工作．已知兩個滾輪邊緣線速度v恒為4m/s，每個滾輪對夯桿的正壓力F_N為2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ為0.3，夯桿質量m為1×10³kg，坑深h為6.4m．假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，且夯桿底端升到坑口時，速度正好為零．取g=10m/s²．求：
（1）夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為多大，此時夯桿底端離夯底多高；
（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿所作的功；
（3）打夯周期．

Answer 1

解：（1）夯桿在上升過程中，對夯桿進行受力分析知，夯桿所受摩擦力為：；
夯桿產生加速度為：
當夯桿與滾輪相對靜止時：
當夯桿以v=4m/s的初速度豎直上拋，上升高度為：
則當夯桿加速向上運動速度到達v=4m/s后，夯桿勻速上升，勻速上升高度為：h₃=h-h₁-h₂=1.6m
因此，夯桿先勻加速上升，后勻速上升，再豎直上拋．
故夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為4m/s；
此時夯桿底端離夯底△h=h-h₂=5.6m．
（2）夯桿在上升過程中只有電動機和重力對夯桿做功，根據動能定理有：
W+W_G=0
∴W=-W_G=-mg（-h）=mgh=6.4×10⁴J
夯桿下落過程中只有重力做功電動機不做功，故一個打夯周期中電動機對夯桿做功為6.4×10⁴J
（3）夯桿上拋運動的時間為：；
夯桿勻速上升的時間為：；
夯桿自由落體的時間為：
故打夯周期為：T=t₁+t₂+t₃+t₄=3.93s
答：（1）夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為4m/s，此時夯桿底端離夯底5.6m；
（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿所作的功6.4×10⁴J；
（3）打夯周期為3.93s．
分析：（1）求出夯桿受到的摩擦力，從而求出夯桿向上勻加速運動的加速度a，通過計算判斷夯桿上升運動的過程從而確定夯桿被釋放時速度和離夯底的高度；
（2）重力和電動機對夯桿做功，根據動能定理可以求出電動機做的功；
（3）根據（1）問的分析，分勻加速上升、勻速上升和勻減速上升以及自由下落四段求一個打夯周期的時間．
點評：本題關鍵是分析求出夯桿的運動規律，根據牛頓第二定律和運動學公式綜合求解．