Question

如圖所示，兩塊垂直紙面的平行金屬板A、B相距為d，B板的中央M處有一個α粒子源，可向各個方向射出速率相同的α粒子，α粒子的質量為m，帶電量為q，為使所有的α粒子都不能達到A板，可以在A、B板間加一個電壓，兩板間產生如圖由A板指向B板的勻強電場，所加電壓最小值是U₀；若撤去A、B間的電壓，仍要使所有α粒子都不能達到A板，可以在A、B間加一個垂直紙面向外的范圍足夠大的勻強磁場，該勻強磁場的磁感應強度B必須符合什么條件？請畫出在加磁場時平面內α粒子所能到達的區域的邊界輪廓，并用題中所給的物理量d、m、q、U₀寫出B所符合條件的關系式α粒子在電場或磁場運動時均不考慮重力的作用．

Answer 1

分析：若加電場，在電場力作用下最容易到達A板的是速度方向垂直B板的α粒子．根據動能定理列式，求出α粒子的初速度v．若加磁場，速率為v的α粒子，當其軌跡恰好與AB板都相切的α粒子打不到板即可．其軌道半徑為

1

2

d，由牛頓第二定律列式求B的最小值，即可得到B的條件．

解答：解：設速率為v，在電場力作用下最容易達到A板的是速度方向垂直B板的α粒子，如果在電場力作用下，速度方向垂直B板的α粒子達到A板之前瞬間速度為零，此時兩板間電壓最小．
由動能定理得：qU0=

1

2

mv2
加磁場后，速率為v的α粒子初速度水平向左運動的軌跡是粒子運動的左邊界，右邊界是以M為圓心，以d為半徑的圓，粒子只分布在圖示的范圍內，只要軌跡與AB板都相切的α粒子打不到A板即可．與此對應的磁感應強度就是B的最小值．
因為Bminqv=m

v2

d 2

由上兩式得Bmin=

4

d

?

mU0 2q

=

2

d

?

2mU0 q

即磁感應強度B應滿足B≥

2

d

?

2mU0 q

答：該勻強磁場的磁感應強度B必須符合B≥

2

d

?

2mU0 q

．在加磁場時平面內α粒子所能到達的區域的邊界輪廓如圖．

點評：本題是電場中加速和磁場中勻速圓周運動的綜合，運用動能定理、牛頓第二定律結合幾何知識求解．