Question

如圖甲所示，CD為半徑r=1.8m的光滑絕緣圓弧軌道，其所對應的圓心角θ=90°，軌道末端水平．木板B長L=10m、質量M=1.2kg，靜止放置在粗糙水平地面MN上，左端位于M點，上表面與CD軌道末端相切．PQ左側為勻強磁場區域，磁感應強度B₀=1T，方向垂直紙面向外．PQ右側為勻強電場區域，電場強度隨時間變化的關系如圖乙所示，規定電場方向豎直向下為正方向．一質量m=1kg、帶電量q=+0.1C的滑塊A在某一時刻由C點靜止釋放．已知滑塊A與木板B之間的動摩擦因素μ₁=0.5，木板B與水平地面之間的動摩擦因素μ₂=0.2，可將滑塊視為質點，g取10m/s²．求：
（1）滑塊A滑至圓弧軌道最低點時的速度大小和此時滑塊A對軌道的壓力．
（2）若滑塊A在t=0時進入電場區域，滑塊A最終靜止時離D點的距離．
（3）若滑塊A在t=2s時進入電場區域，滑塊A最終靜止時離D點的距離．

Answer 1

分析：（1）小物塊從C處運動到D點的過程中，只有重力做功，機械能守恒．根據機械能守恒，得出小物塊滑到D點時的速度大小v．
（2）先求滑塊與木板的摩擦力和木板與地面的摩擦力，判斷出木板不動，應用運動學知識求解．
（3）滑塊在周期性變化的電場中做勻變速直線運動，根據運動學知識求每個運動過程的加速度，速度，位移，最后加和．

解答：解：（1）從C到D，物體機械能守恒：mgr=

1

2

mV2
解得：V=

2gr

=6m/s
由向心力公式知：N-mg-qVB=

mV2

r

解得：N=30.6N，方向豎直向上，
由牛頓第三定律知對軌道的壓力為30.6N，方向豎直向下
（2）A與B間的摩擦力：f₁=μ₁（mg-qE）=2N
B與水平面間的摩擦力：f₂=μ₂（mg+Mg-qE）=3.2N
f₁＜f₂，所以木板不動：a=

f1

m

=2m/S2
滑塊靜止用時：t=

V

a

=3s，電場方向恰好未改變，
滑行距離：S=

V2

2a

=9m＜L，未從木板滑落
所以A靜止時離D的距離為9m
（3）從2S到3S過程中，滑塊加速度：a=2m/s²，
3S時滑塊速度：V₁=V-at₁=4m/s
此過程中滑塊的位移：S1=

1

2

(V+V1)t1=5m
此后電場反向：f₁′=μ₁（mg+qE）=8N
f₂′=μ₂（Mg+mg+qE）=5.6N
所以木板加速運動，此時AB的加速度分別為：a1=

f1′

m

=8m/S2
a2=

f1′-f2′

M

=2m/S2
速度相等用時t₂：V₁-a₁t₂=a₂t₂
解得：t₂=0.4S
共同速度：v₂=a₂t₂=0.8m/s
此過程中位移：S2=

1

2

(V1+V2)t2=0.96m
此后電場強度為零，二者共同減速運動：a′=

μ2(Mg+mg)

M+m

=2m/S2
到靜止用時：t3=

V2

a′

=0.4S
此過程位移：S3=

V 2 2

2a′

=0.16m
所以整個過程的位移：S=S₁+S₂+S₃=6.12m
答：（1）滑塊A滑至圓弧軌道最低點時的速度大小6m/s
此時滑塊A對軌道的壓力30.6N，方向豎直向上．
（2）若滑塊A在t=0時進入電場區域，滑塊A最終靜止時離D點的距離9m．
（3）若滑塊A在t=2s時進入電場區域，滑塊A最終靜止時離D點的距離6.12m．

點評：該題是一道綜合題，綜合運用了機械能守恒定律、牛頓第二定律以及牛頓第三定律，解決本題的關鍵熟練這些定理、定律的運用．