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【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）當時，證明：對；

（2）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍。

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）設，若函數的兩個極值點恰為函數的兩個零點，且的范圍是，求實數a的取值范圍.

【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數y和平均溫度x有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.（表中）

（1）根據散點圖判斷，與（其中自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均產卵數y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求出y關于x的回歸方程.（計算結果精確到小數點后第三位）

（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為.

①記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應的概率p.

②當取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數為X，求X的數學期望和方差.

附：線性回歸方程系數公式.

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，橢圓上短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為；

（1）求橢圓的方程；

（2）過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點（點在第二象限），是橢圓上位于直線兩側的動點，若，求證：直線的斜率為定值.

【題目】如圖，三棱錐中，平面

，，。分別為線段上的點，且。

(1)證明：平面；

(2)求二面角的余弦值。

【題目】在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L.E. J. Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的是（ ）

A.B.

C.D.

【題目】已知動直線：與軸交于點，過點作直線，交軸于點，點滿足，的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知點，點，過作斜率為的直線交于，兩點，延長，分別交于，兩點，記直線的斜率為，求證：為定值.

【題目】某企業打算處理一批產品，這些產品每箱100件，以箱為單位銷售.已知這批產品中每箱出現的廢品率只有或者兩種可能，兩種可能對應的概率均為0.5.假設該產品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢.現處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換.以一箱產品中正品的價格期望值作為決策依據.

（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；

（2）現允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產品進行檢驗.

①若此箱出現的廢品率為，記抽到的廢品數為，求的分布列和數學期望；

②若已發現在抽取檢驗的2件產品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買.

【題目】梯形中，，，，，過點作，交于（如圖1）.現沿將折起，使得，得四棱錐（如圖2）.

（1）求證：平面平面；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值.

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）設x，y∈A，對任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．