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【題目】如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，所在位置分別記為點．

（1）若甲乙都以每分鐘的速度從點出發在各自的大道上奔走，到大道的另一端

時即停，乙比甲遲2分鐘出發，當乙出發1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；

（2）設，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且，請將甲

乙之間的距離表示為θ的函數，并求甲乙之間的最小距離．

【題目】如圖，某公園內有一塊矩形綠地區域ABCD，已知AB=100米，BC=80米，以AD，BC為直徑的兩個半圓內種植花草，其它區域種值苗木. 現決定在綠地區域內修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價為每米3a元，修建的總造價為W元. 設.

（1）求W關于的函數關系式；

（2）如何修建道路，可使修建的總造價最少？并求最少總造價.

【題目】如圖，某景區內有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.

（1）當θ＝時，求∠OPQ的大小；

（2）當∠OPQ越大時，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，角θ的正弦值．

【題目】如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結構圖，由正六棱錐和構成，兩個棱錐的側棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設金屬條的總長為y．

（1）設∠O1AO =(rad)，將y表示成θ的函數關系式，并寫出θ的范圍；

（2）請你設計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最小．

【題目】某景區修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示.圓的圓心與矩形對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（為上切點），與左右兩邊相交（，為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區域，其余部分為透光區域.已知圓的半徑為1，且，設，透光區域的面積為.

（1）求關于的函數關系式，并求出定義域；

（2）根據設計要求，透光區域與矩形窗面的面積比值越大越好.當該比值最大時，求邊的長度.

【題目】某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的中點）和線段MN構成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設OC與MN所成的角為．

（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；

（2）若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

（3）對規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．

【題目】某無縫鋼管廠只生產甲、乙兩種不同規格的鋼管，鋼管有內外兩個口徑，甲種鋼管內外兩口徑的標準長度分別為和，乙種鋼管內外兩個口徑的標準長度分別為和.根據長期的生產結果表明，兩種規格鋼管每根的長度都服從正態分布，長度在之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準流入市場，其他長度的鋼管為正品.

（1）在該鋼管廠生產的鋼管中隨機抽取10根進行檢測，求至少有1根為廢品的概率；

（2）監管部門規定每種規格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為：若鋼管的內外兩個口徑實際長分別為，標準長分別為，則“口徑誤差”為，按行業生產標準，其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于的鋼管），現分別從甲、乙兩種產品的正品中各隨機抽取100根，分別進行“口徑誤差”的檢測，統計后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經銷商經銷甲種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.3，“二級品”的利潤率為0.18，“合格品”的利潤率為0.1；經銷乙種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.25，“二級品”的利潤率為0.15，“合格品”的利潤率為0.08，若視頻率為概率.

（ⅰ）若經銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨，和分別表示經銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤，求和的數學期望和方差，并由此分析經銷商經銷兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時，可使得所獲利潤的方差和最小？

附：若隨機變量服從正態分布，則，，，.

【題目】設函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，證明恒成立.

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成角為45°，求二面角的大小.