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【題目】設數列是公差不為零等差數列，滿足；數列的前項和為，且滿足.

（1）求數列、的通項公式；

（2）在和之間插入1個數，使成等差數列；在和之間插入2個數，使成等差數列；……；在和之間插入個數，使成等差數列，

（i）求；

（ii）是否存在正整數，使成立？若存在，求出所有的正整數對；若不存在，請說明理由.

【題目】設為實數，已知函數的導函數為，且.

（1）求的值；

（2）設為實數，若對于任意，不等式恒成立，且存在唯一的實數使得成立，求的值；

（3）是否存在負數，使得是曲線的切線.若存在，求出的所有值：若不存在，請說明理由.

【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個球體和一個正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內接正方形.

（1）當時，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對于給定的和，求手工作品體積的最大值.

【題目】在平面直角坐標系中，的離心率為，且點在此橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與圓相切于第一象限內的點，且與橢圓交于.兩點.若的面積為，求直線的方程.

把以上各步所得余數從下到上排列，得到89=1011001（2）這種算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推廣為把十進制數化為k進制數的方法，稱為“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化為七進制數為_．

【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

.

設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為

A. B.

C. D.

【題目】三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設勾股形中勾股比為，若向弦圖內隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數大約為（ ）

A. B. C. D.

【題目】2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務已經通過了探月工程重大專項領導小組審議通過，正式開始實施.如圖所示，假設“嫦娥四號”衛星將沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確式子的序號是( )

A.①③B.①④C.②③D.②④

【題目】狄利克雷函數是高等數學中的一個典型函數，若，則稱為狄利克雷函數．對于狄利克雷函數，給出下面4個命題：①對任意，都有；②對任意，都有；③對任意，都有， ；④對任意，都有．其中所有真命題的序號是（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

【題目】已知函數的圖象在處的切線與函數的圖象在處的切線互相平行.

（1）求的值；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若數列的前項和為，求證：.