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【題目】（理）已知數列滿足（），首項．

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）數列滿足，記數列的前項和為，是△ABC的內角，若對于任意恒成立，求角的取值范圍．

【題目】已知函數，若在區間內有且只有一個實數，使得成立，則稱函數在區間內具有唯一零點.

（1）判斷函數在區間內是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區間內具有唯一零點.

（3）若函數在區間內具有唯一零點，求實數的取值范圍.

【題目】如圖，A、B是海岸線OM、ON上兩個碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為、，測得，，以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，一艘游輪以小時的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線BB經過點Q）.

（1）問游輪自碼頭A沿方向開往碼頭B共需多少分鐘？

（2）海中有一處景點P（設點P在平面內，，且），游輪無法靠近，求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標.

【題目】設點分別是棱長為2的正方體的棱的中點．如圖，以為坐標原點，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系．

（1）求向量與的數量積；

（2）若點分別是線段與線段上的點，問是否存在直線，平面？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

【題目】已知數列的通項公式為，其中，、.

(1)試寫出一組、的值，使得數列中的各項均為正數.

(2)若，，數列滿足，且對任意的()，均有，寫出所有滿足條件的的值.

(3)若，數列滿足，其前項和為，且使(、，)的和有且僅有組，、、…、中有至少個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.

【題目】對于雙曲線：()，若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內部.

(1)證明：直線上的點都在的外部.

(2)若點的坐標為，點在的內部或上，求的最小值.

(3)若過點，圓()在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關系式及的取值范圍.

【題目】如圖，小凳凳面為圓形，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力等因素，設計的小凳應滿足：三根細鋼管相交處的節點與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面，且分細鋼管上下兩段的比值為，三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點，厘米，求凳子的高度及三根細鋼管的總長度(精確到).

【題目】已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.設數列的前n項和為且滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）若求正整數的值；

（3）是否存在正整數，使得恰好為數列的一項？若存在，求出所有滿足條件的正整數；若不存在，請說明理由.

【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點都在雙曲線上，直線與軸相交于點，設坐標原點為.

（1）求雙曲線的方程，并求出點的坐標（用表示）；

（2）設點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點.問：在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）若過點的直線與雙曲線交于兩點，且，試求直線的方程.

【題目】已知橢圓的左右焦點分別是,是橢圓外的動點,滿足.點是線段與該橢圓的交點,點在線段上,并且滿足,.

(1)當時,用點P的橫坐標表示；

(2)求點的軌跡的方程；

(3)在點的軌跡上,是否存在點,使的面積?若存在,求出的正切值；若不存在,說明理由.