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【題目】(數學文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請研究和理解球的體積公式求法的基礎上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為 ，將此橢圓繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______．

【題目】已知數列和滿足：，，，且對一切，均有.

（1）求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；

（2）若，求數列的前n項和；

（3）設（），記數列的前n項和為，問：是否存在正整數，對一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整數的值；若不存在，請說明理由.

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點M，使得：（其中O為坐標原點），則稱直線l具有性質H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線、、都具有性質H.

【題目】(數學文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請研究和理解球的體積公式求法的基礎上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為 ，將此橢圓繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______．

【題目】已知命題：“若，為異面直線，平面過直線且與直線平行，則直線與平面的距離等于異面直線，之間的距離”為真命題.根據上述命題，若，為異面直線，且它們之間的距離為，則空間中與，均異面且距離也均為的直線的條數為（ ）

A.0條B.1條C.多于1條，但為有限條D.無數多條

【題目】已知等差數列滿足，.

（1）求的通項公式；

（2）若，數列滿足關系式，求證：數列的通項公式為；

（3）設（2）中的數列的前n項和為，對任意的正整數n，恒成立，求實數p的取值范圍.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：，使得成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【題目】某工廠因排污比較嚴重，決定著手整治，一個月時污染度為，整治后前四個月的污染度如下表：

污染度為后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現用下列三個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式：，，，其中表示月數，、、分別表示污染度．

（1）問選用哪個函數模擬比較合理，并說明理由；

（2）若以比較合理的模擬函數預測，整治后有多少個月的污染度不超過．

【題目】若X是一個集合，是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于，屬于；②中任意多個元素的并集屬于；③中任意多個元素的交集屬于.則稱是集合X上的一個拓撲.已知集合，對于下面給出的四個集合：

①；

②；

③；

④.

其中是集合X上的拓撲的集合的序號是________.

【題目】已知直線、與曲線分別相交于點、和、，我們將四邊形稱為曲線的內接四邊形．

（1）若直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，求的值；

（2）若直線，與圓分別交于點、和、，求證：四邊形為正方形；

（3）求證：橢圓的內接正方形有且只有一個，并求該內接正方形的面積．