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【題目】已知橢圓：的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為的等腰直角三角形，為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓上，點在直線上，且，求證：為定值；

（3）設點在橢圓上運動，，且點到直線的距離為常數，求動點的軌跡方程．

【題目】為了配合今年上海迪斯尼樂園工作，某單位設計了統計人數的數學模型，以表示第個時刻進入園區的人數；以表示第個時刻離開園區的人數.設定以15分鐘為一個計算單位，上午9點15分作為第1個計算人數單位，即；9點30分作為第2個計算單位，即；依次類推，把一天內從上午9點到晚上8點15分分成45個計算單位（最后結果四舍五入，精確到整數）.

（1）試計算當天14點至15點這1小時內進入園區的游客人數、離開園區的游客人數各為多少？

（2）從13點45分（即）開始，有游客離開園區，請你求出這之后的園區內游客總人數最多的時刻，并說明理由.

【題目】已知頂點為原點的拋物線C的焦點與橢圓的上焦點重合，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若拋物線上不同兩點A，B作拋物線的切線，兩切線的斜率，若記AB的中點的橫坐標為m，AB的弦長，并求的取值范圍.

【題目】某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節目，兩隊各有六名選手參賽，將他們首輪的比賽成績作為樣本數據，繪制成莖葉圖如圖所示，為了增加節目的趣味性，主持人故意將隊第六位選手的成績沒有給出，并且告知大家隊的平均分比隊的平均分多4分，同時規定如果某位選手的成績不少于21分，則獲得“晉級”.

（1）主持人從隊所有選手成績中隨機抽取2個，求至少有一個為“晉級”的概率；

（2）主持人從兩隊所有選手成績中分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總人數為，求的分布列及數學期望.

【題目】如圖1，在矩形中，，為垂足，在上，將沿折起，使點到點的位置，連，且，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）求鈍二面角的余弦值.

【題目】定義在上的函數，如果對任意，恒有成立，則稱為階縮放函數．

（1）已知函數為二階縮放函數，且當時，，求的值；

（2）已知函數為二階縮放函數，且當時，，求證：函數在上無零點；

（3）已知函數為階縮放函數，且當時， 的取值范圍是，求在上的取值范圍．

【題目】已知函數，且函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱.

（1）若存在，使等式成立，求實數m的最大值和最小值

（2）若當時不等式恒成立，求a的取值范圍.

【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE，H是直角項點)來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，記∠BHE＝．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數，并寫出定義域；

（2）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度L．

【題目】已知兩個不相等的非零向量，兩組向量和均由2個和3個排列而成，記，表示所有可能取值中的最小值，則下列命題中

（1）有5個不同的值；（2）若則與無關；（3）若，則與無關；（4）若，則；（5）若，，則與的夾角為．正確的是（　　）

A.（1）（2）B.（2）（4）C.（3）（5）D.（1）（4）

【題目】已知函數．

（1）若為單調函數，求a的取值范圍；

（2）若函數僅一個零點，求a的取值范圍．