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已知函數(shù)f（x）=x²，g(x)=

1

2

λf′(x)+sinx在[-1，1]上的減函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）關(guān)于x的方程lnf（1+x）=2x-m（x∈[

1

e

-1，e-1]）有兩個(gè)根 （無理數(shù)e=2.71828…），求m的取值范圍．

交通銀行向市場(chǎng)推出甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品，若投資甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品分別為p，q萬元，到期后獲得的收益分別為

1

10

p，

2

5

lnq萬元，且要求每種產(chǎn)品的投資起點(diǎn)都不低于1萬元．現(xiàn)在張老師把10萬元全部用于投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品．
（Ⅰ）若張老師投資了乙種理財(cái)產(chǎn)品為8萬元，求到期后張老師獲得的總收益；
（Ⅱ）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)投資方案，使得到期后張老師獲得的總收益最大，并求出其最大總收益．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7）

執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N的值是8，那么，那么輸出的p的值是．

已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．
（1）如果曲線y=f（x）在（1，0）處的切線恰與直線y=x平行，求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）≤0恒成立，證明：當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（

1

x2

-1）．

已知△ABC的三角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且三邊a，b，c成等差數(shù)列，b=4，C=2A．
（1）求cosA；
（2）求△ABC的面積．

已知函數(shù)f(x)=

x(1+alnx)

x-1

(x＞1)．
（Ⅰ）若a≥0，討論g（x）=（x-1）²f′（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若f（x）＞n恒成立，求滿足條件的正整數(shù)n的值；
（Ⅲ）求證：(1+1×2)•(1+2×3)…[1+n(n+1)]＞e2n-

5

2

．

在圖的幾何體中，面ABC∥面DEFG，∠BAC=∠EDG=120°，四邊形 ABED 是矩形，四邊形ADGC 是直角梯形，∠ADG=90°，四邊形 DEFG 是梯形，EF∥DG，AB=AC=AD=EF=1，DG=2．
（1）求證：FG⊥面ADF；
（2）求二面角F-GC-D的余弦值．

執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N的值是6，那么，那么輸出的p的值是．

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a＞l，證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若對(duì)任意x₁，x₂，x₁≠x₂，且當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時(shí)，有x₁+x₂＜0，求a的取值范圍．

已知a、b、c是正數(shù)，求證：

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

＜a+b+c+3．