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設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，則數列{a_n}的前n項和為．

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（1）求實數a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實數k的取值范圍；
（3）對于任意滿足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N^*，n≥3）的自變量x₀，x₁，x₂，…，x_n，如果存在一個常數M＞0，使得定義在區間[p，q]上的一個函數m（x），|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，則稱函數m（x）為區間[p，q]上的有界變差函數．試判斷函數f（x）是否區間[1，3]上的有界變差函數，若是，求出M的最小值；若不是，請說明理由．

已知函數f（x）=|x-1|+2|x+1|+1．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若直線y=（

1

3

）^a（a∈R）與函數y=f（x）的圖象恒有公共點，求實數a的取值區間．

已知函數f（x）=2a²lnx-x²（常數a＞0）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數f（x）在區間（1，e²）上零點的個數（e為自然對數的底數）．

吉安一中新校區正在如火如荼地建設中，如圖，某工地的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，工地的兩個出入口設置在點A及點C處，工地中有兩條筆直的小路AD、DC，長度分別為300米、500米，且DC平行于OB．求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）．

如圖，在Rt△ABC中，∠A為直角，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在直線AC上，斜邊中點為M（2，0）．
（1）求BC邊所在直線的方程；
（2）若動圓P過點N（-2，0），且與Rt△ABC的外接圓相交所得公共弦長為4，求動圓P中半徑最小的圓方程．

已知a，b均為正數，且a+b=1，證明：
（1）（ax+by）²≤ax²+by²
（2）（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．

如圖所示的兩個同心圓盤均被n等分（n∈N⁺且n≥2），在相重疊的扇形格中依次同時填上1，2，3，L，n，內圓盤可繞圓心旋轉，每次可旋轉一個扇形格，當內圓盤旋轉到某一位置時，定義所有重疊扇形格中兩數之積的和為此位置的“旋轉和”．
（Ⅰ）求n個不同位置的“旋轉和”的和；
（Ⅱ）當n為偶數時，求n個不同位置的“旋轉和”的最小值；
（Ⅲ）設n=4m（m∈N⁺），在如圖所示的初始位置將任意m對重疊的扇形格中的兩數均改寫為0，證明：當m≤4時，通過旋轉，總存在一個位置，任意重疊的扇形格中兩數不同時為0．

數列{a_n}滿足a_n=S_n-1+n，a₁=0，求{a_n}的通項公式．

關于x的方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的兩實根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），sinθ+cosθ求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1+ 1 tanθ

+

cosθ

1+tanθ

的值；
（3）方程的兩實根及此時θ的值．