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如圖，假設兩圓O₁和O₂交于A、B，⊙O₁的弦BC交⊙O₂于E，⊙O2的弦BD交⊙O₁于F，證明：
（1）若∠DBA=∠CBA，則DF=CE； 
（2）若DF=CE，則∠DBA=∠CBA．

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如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B

．
（Ⅰ）當λ=

1

2

時，求直線PN與平面ABC所成的角θ的正弦值；
（Ⅱ）若平面PMN與平面ABC所成的角為45°，試確定點P的位置．

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如圖（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠ABC=60°，E是BC的中點，將△ABE沿AE折起，得到如圖（2）所示的四棱錐B′-AECD，連結B′C，B′D，F是CD的中點，P是B′C的中點，且PF=

6

2

．

（1）求證：AE⊥平面PEF；
（2）求二面角B′-EF-A的余弦值．

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側棱和底面垂直的棱柱）中，平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，AB=BC=AA₁=3，線段AC、A₁B上分別有一點E、F且滿足2AE=EC，2BF=FA₁．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）求點E到直線A₁B的距離；
（3）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

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