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已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

2 5

5

，F₁、F₂是橢圓的左、右兩個焦點，B是上頂點，且

BF1

•

BF2

=-3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1且與圓O：x²+y²=

1

2

有公共點的直線l與橢圓交于點A、B，求|AB|的范圍．

某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本．經統計，得到下列關于產品重量的樣本頻數分布表：

甲流水線 產品重量（單位：克）	頻數
（490，495]	2
（495，500]	12
（500，505]	18
（505，510]	6
（510，515]	2

乙流水線 產品重量（單位：克）	頻數
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

已知產品的重量合格標準為：重量值（單位：克）落在（495，510]內的產品為合格品；否則為不合格品．
（Ⅰ）從甲流水線樣本的合格品中任意取2件，求重量值落在（505，510]的產品件數X的分布列；
（Ⅱ）從乙流水線中任取2件產品，試根據樣本估計總體的思想，求其中合格品的件數Y的數學期望；
（Ⅲ）從甲、乙流水線中各取2件產品，用ξ表示“甲流水線合格品數與乙流水線合格品數的差的絕對值”，并用A表示事件“關于x的一元二次方程2x²+2ξx+ξ=0沒有實數解”． 試根據樣本估計總體的思想，求事件A的概率．

已知直線L：

x=2+tcosα y=1+ysinα

（t為參數，α為直線的傾斜角）交橢圓

x2

16

+

y2

4

=1于A、B兩點，若點M（2，1）恰好為線段AB的中點，求直線L的斜率．

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=n²+λn，當n∈N^*，a_n≤a_n+1，求λ的最小值．

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥面PAD？說明理由．
（2）設M為PC中點，PA=1，求P-ABM體積．

已知△ABC的內角A、B、C所對的邊且a、b、c，且滿足bcosC=（3a-c）cosB，若

BC

•

BA

=4，b=4

2

，求邊a、c的值．

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）且α-β∈（-

π

2

，0），
（Ⅰ）若

a

•

b

=

3

2

，求α-β的值；
（Ⅱ）若|

a

-

b

|=

10

5

且α=

π

3

，求sinβ的值．

已知等差數列{a_n}的前10項和S₁₀=-40，前9項和S₉=-27．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n+2ⁿ，求數列{b_n}的前n項和T_n．

在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，|

OM

|=

5

，

ON

=

2 5

5

OM

．過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

．記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）．
（1）求曲線C的方程；
（2）證明不存在直線l，使得|BP|=|BQ|；
（3）過點P作y軸的平行線與曲線C的另一交點為S，若

AP

=t

AQ

，證明

SB

=t

BQ

．

曲線C上的點M（x，y）到定點F（1，0）的距離和它到定直線l：x=5的距離的比是常數

5

5

．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過F且斜率為1的直線與曲線C相交于A、B兩點．求：
    ①線段AB的中點坐標；     
    ②△OAB的面積．