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已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點（1，

3

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）O為坐標原點，直線y=kx+m與橢圓E相交于不同的兩點A、B，若橢圓E上存在點C，使得O為△ABC的重心，試探究△ABC的面積是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．

如圖，已知拋物線y²=x，過原點O作兩條相互垂直的直線，分別交拋物線于點P，Q
（1）求證：直線PQ過定點，并求該定點的坐標．
（2）若過點Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸的交點為T，且Q為線段RT的中點，求△PQT面積最小時，點Q的橫坐標．

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點E在PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求二面角P-AC-E的大小；
（Ⅱ）試在棱PC上確定一點F，使得BF∥平面AEC．

過直線l：x+y-6=0上一點P（4，2）作圓O：x²+y²=4的兩條切線，切點為A、B，求：
（1）△ABP的外接圓方程；
（2）若M為l上任意一點，求切線長的最小值．

已知（

x

-

2

x

）ⁿ展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162，求：
（1）n的值；
（2）展開式中含x³的項．

已知四棱錐P-ABCD，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AD=

2

，CD=4，PD=2，E為AP上一點，DE⊥AP，F(xiàn)是平面DEC與BP的交點．
（Ⅰ）求證：EF∥AB；
（Ⅱ）求證：AP⊥面EFCD；
（Ⅲ）求PC與面EFCD所成角的正弦值．

如圖，半徑為1的圓O，∠AOB=∠BOC=∠COA=

2π

3

，點A₀，B₀，C₀分別是半徑OA、OB、CO上的動點，且OA₀=OB₀=OC₀，分別過A₀，B₀，C₀作半徑OA、OB、CO的垂線，交圓O與A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，過A₂，B₁分別作OA、OB的平行線A₂M和B₁M交于點M，過B₂，C₁分別作OB、OC的平行線B₂N和C₁N交于點N，過C₂，A₁分別作OC、OA的平行線C₂P和A₁P交于點P，由A₁A₂MB₁B₂NC₁C₂P圍成圖所示的平面區(qū)域（陰影部分），記它的面積為y，設(shè)∠A₂OA=θ，用y=f（θ）表示y關(guān)于θ的函數(shù)．
（1）設(shè)θ∈（0，

π

3

]，求y=f（θ）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求y=f（θ）的最大值，并求出當(dāng)函數(shù)取最大值是時tan2θ的值．

一個盒中有8件產(chǎn)品中，其中2件不合格品．從這8件產(chǎn)品中抽取2件，試求：
（Ⅰ）若采用無放回抽取，求取到的不合格品數(shù)X的分布列；
（Ⅱ）若采用有放回抽取，求至少取到1件不合格品的概率．

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的圖象如圖所示（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（1）若f（

π

2

）=-

2

3

，求f（0）的值．
（2）求滿足f（x）＞-

A

2

的x的取值范圍．
（3）若A=1，令g（x）=f（

1

3

x+

π

12

），求方程lg|x|=2g（x）的解的個數(shù)．

求函數(shù)y=x³-3x在區(qū)間[0，2]的最大值和最小值．