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拋物線y=

1

2

x²將圓面x²+y²≤8分成兩部分，現在向圓面上均勻投點，這些點落在圖中陰影部分的概率為

1

4

+

1

6π

，求

∫

2 0

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．

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如圖，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₁⊥F₁F₂，PF₂=3PF₁，過P，F₁，F₂三點的圓C₂截y軸的線段長為6，過點F₂做直線PF₂的垂線交直線l：x=4

2

于點Q
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ與橢圓C₁只有一個交點；
（Ⅲ）若過直線l：x=4

2

上任意一點A引圓C₂的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

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如圖，已知鞭形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠EFA=60°，點H，G分別是線段EF，BC的中點，點M為HE的中點．
（Ⅰ）求證：MG∥平面ADF．
（Ⅱ）求證：平面AHC⊥平面BCE．

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