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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經過點P（1，

3

2

）．過它的兩個焦點F₁，F₂分別作直線l₁與l₂，l₁交橢圓于A、B兩點，l₂交橢圓于C、D兩點，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求四邊形ACBD的面積S的取值范圍．

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已知曲線C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1，曲線C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜1)．曲線C₂的左頂點恰為曲線C₁的左焦點．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）為曲線C₂上一點，過點P作直線交曲線C₁于A，C兩點．直線OP交曲線C₁于B，D兩點．若P為AC中點．
①求證：直線AC的方程為x₀x+2y₀y=2；
②求四邊形ABCD的面積．

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如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓Γ的離心率為

3

2

，焦距為2

3

，點A，B分別是橢圓Γ的右頂點和上頂點，點D是線段AB上的一動點，點C是橢圓Γ上不與A，B重合的一動點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程和△CAB的面積的最大值；
（Ⅱ）若滿足：

OD

=λ

OC

（λ＜0），求λ的取值范圍．

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如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，側棱垂直于底面，側棱長為

3

，D為棱AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小．

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