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若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，取x₀∈R并且x_n+1=f（x_n）（n∈N），則稱{x_n}是f（x）的迭代數(shù)列．已知{a_n}，{b_n}均是f（x）=

1

x2+2

的迭代數(shù)列，S_n=

n

k=1

a_k，T_n=

n

k=1

b_k．
（Ⅰ）對任意x，y∈R且x≠y，求證：|f（x）-f（y）|＜

1

4

|x-y|．
（Ⅱ）求證：|S_n-T_n|＜

2

3

（n∈N⁺）．
（Ⅲ）求證：存在唯一實(shí)數(shù)T滿足|S_n-nt|＜

2

3

（n∈N⁺）．

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已知l₁為函數(shù)f（x）=x²（x∈[0，2]）在P（t，t²）（t∈（0，2））處的切線，l₂為x=2，f（x），l₁，l₂與x軸所圍成的圖形如圖所示．
（1）請用t表示S₁+S₂=g（t）；
（2）求g（t）的最小值．

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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知平面BB₁C₁C⊥平面ABC，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，且B₁D⊥BC₁．
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面B₁AD；
（Ⅱ）證明BC₁⊥平面B₁AD．

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如圖，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠BCA=90°，AC=BC=1，PC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面BCD；．
（Ⅱ）設(shè)Q為PB的中點(diǎn)，求二面角Q-CD-B的余弦值．

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如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱DD₁⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD₁=2，BC=DC=1．點(diǎn)E是側(cè)棱DD₁的中點(diǎn)．
（1）證明：B₁E⊥AB；
（2）若點(diǎn)F在線段B₁E上，且B₁F=

1

3

B₁E，求直線AF與平面BDD₁B₁所成角的正弦值．

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如圖，在幾何體ABCDE中，BE⊥平面ABC，CD∥BE，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，且BE=AB=2，CD=1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法解答以下問題：
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求AB與平面BDF所成角的正弦值．

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如圖已知圓錐SO的底面半徑為4，母線長為8，三角形SAB是圓錐的一個軸截面，D是SA上的一點(diǎn)，且SD=

8

3

3

．動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著圓錐的側(cè)面運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)D，當(dāng)其運(yùn)動路程最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面SAB繞著軸SO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜π）后，母線SB₁與曲線Γ相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）若θ=

π

2

，證明：平面A₁B₁P⊥平面ABP；
（Ⅱ）若θ=

2π

3

，求二面角B₁-AB-P的余弦值．